35. Κατά το πρόβλημα και η μέθοδος.
«Άκουσε νεαρέ:
Όπως είπες, «μπορούμε να πούμε ότι, ο Θαλής, σχεδίασε (υπό κλίμακα και με μαστοριά) το ανάπτυγμα της πυραμίδας και έπειτα να την κατασκευάσει. Κατόπιν, μπορεί, επάνω σε αυτήν, να μετρήσει (πάλι με ακρίβεια) όλα τα μεγέθη που του χρειάζονται για να βρει και το ύψος της. Εάν όμως, αυτό το ύψος, δεν θέλει «το βρει» (δηλαδή, να το υπολογίσει) αλλά, θέλει να το μετρήσει, τί θα κάνει;»
«Μάστορα, με κοροϊδεύεις;»
«Όχι, πες μου...:»
«Ε, θα βάλει μία βελόνα από το κέντρο του πάτου της και θα την σπρώξει μέχρι που να “βρει” την κορυφή της... την οποία, μπορεί και να τρυπήσει, για να είναι σίγουρος ότι η βελόνα περνάει από 'κεί.»
«Και... εάν, η πυραμίδα, ήταν συμπαγής;...»
Η καθηγήτρια με κοίταξε σαν να μου έλεγε: «Έλα, τώρα, μη του αλλάζεις τα δεδομένα...» αλλά, δεν παρενέβη. Εγώ, επέμεινα:
«Εάν είχες να μετρήσεις μία πυραμίδα, (π.χ.) περίπου στο ύψος σου και, ας πούμε, όμοια με αυτή του Χέοπος, τί θα έκανες;... Δηλαδή, τί θα ήταν το πιο εύκολο να κάνεις;»
Ο “μικρός” με εκοίταξε “πονηρά” και, ερώτησε:
«Με αλφάδι ή, χωρίς αλφάδι;»
«Χωρίς αλφάδι...»
Ο “μικρός” ξαναρώτησε:
«Με ζύγι ή, χωρίς ζύγι;»
«Άντε,... με ζύγι...»
Ο “μικρός” ξαναρώτησε:
«Η πυραμίδα, είναι επάνω σε ένα επίπεδο, οριζόντιο έδαφος;»
«Μάλιστα.»
Όταν εξασφάλισε και την τελευταία προϋπόθεση, είπε:
«Ε, τότε, θα έκανα τα εξής:
- Θα έπαιρνα μία ευθεία τάβλα, τ, (π.χ) τριών μέτρων και θα σημάδευα το μέσον, Μ, μίας ακμής της.
- Θα ακούμπαγα το ένα άκρο της, το Λ, στο έδαφος και, το άλλο, στην κορυφή Κ της πυραμίδας... (Το Μ, να ανήκει στην ΛΚ.)
- Από το μέσον της, Μ, θα κρέμαγα το ζύγι μέχρι που η μύτη του να ακουμπήσει στο σημείο Η του εδάφους...»
205η εικών:
Εάν το Μ είναι το μέσον της ΚΛ,
το υ είναι το διπλάσιο του ΜΗ.
«Εάν δεν έβλεπα το σχήμα, δεν θα ήμουν σίγουρη ότι είχα καταλάβει...»
Ο βοηθός ενεθυμήθη ένα προηγούμενο επεισόδιο (εις το τέλος του κεφαλαίου με τίτλο: «18. Η λύση δι΄ “άρσεως” της πυραμίδος»):
«Με συγχωρείτε εάν τα είπα ακαταλαβίστικα...»
«Η σχολική ορολογία δεν είναι η μόνη έγκυρη», του απήντησε εκείνη, με ένα πλατύ χαμόγελο... και συνέχισε:
«Γιατί όμως, ρώτησες εάν θα είχες αλφάδι;»
«Γιατί, αν είχα αλφάδι...», με κοίταξε με νόημα και συνέχισε: «αλφαδιάζω την τάβλα και μετράω κατ΄ ευθείαν το ύψος της...»
«Μόνο που χρειάζεσαι ...οκτώ χέρια», τον αποπήρα (όντως).
«Μάστορα, δεν καταλαβαίνω... Γιατί ...«οκτώ χέρια»; Βούδας είμαι;»
«Αντί να λες σαχλαμάρες, μάθε να μετράς... χέρια:
- Ένα, διά την συγκράτηση της τάβλας επί της κορυφής της πυραμίδος.
- Δύο, διά την συνεχή συγκράτηση του αλφαδιού επί της τάβλας
- Ένα για την διατήρηση της τάβλας στην οριζόντια θέση.
- Δύο για την ανάρτηση του ζυγιού εις την θέση Μ (το ένα) και για την αυξομείωση του μήκους (το άλλο).
- Ένα – αν όχι δύο – για την μέτρηση του υ.»
206η εικών:
Εάν η ΚΛ είναι αλφαδιασμένη,
το υ είναι ίσο προς το ΜΗ.
«Αισθάνομαι ταυτόχρονα δασκάλα και ...μαθήτρια και ...συμμαθήτρια του νεαρού από 'δώ...»
Εγώ, απευθυνόμενος εις τον νεαρό απ΄ εκεί, συνέχισα το “δικό μου”:
«Και αν, η πυραμίδα έχει (περίπου) διπλάσιες διαστάσεις από την προηγουμένη; –Ή, και τριπλάσιες...»
«Μάστορα, τότε, δεν θα μπορώ να δουλέψω με την αλφαδιά...:
Θα πρέπει να φτιάξω σκαλωσιά...»
«Χμμμ...», έκαμα με νόημα διά να του υπογραμμίσω τον λόγο διά τον οποίο δεν του είχα δώσει αλφάδι.
Αυτός όμως, ...άλλο εσκέφθη...:
«Ε, να: Με κάτι τέτοια τα κονόμαγε ο Θαλής...:
Πάει, λοιπόν, που λέτε, σε αυτούς, τους ιερείς... (τι ήτανε δεν ξέρω...) τους σχεδιάζει το όλο σύστημα (σκαλωσιά, αλφάδι, ζύγι) τους “βγάζει” και τον προϋπολογισμό τους δίνει και το χρονοδιάγραμμα... και τους ζητάει να του αναθέσουν την δουλειά.»
Εν όσω έλεγε αυτά, είχε κάνει και ένα πρόχειρο σχέδιο:
207η εικών:
Ο ...απλούστερος τρόπος μέτρησης
του ύψους της πυραμίδος.
«Οι άλλοι, παρόλο που θέλανε πιο γρήγορα το αποτέλεσμα, συμφώνησαν και άρχισαν να μαζεύουν τα ξύλα...
Λοιπόν, ο Θαλής, μόλις ξεδιάλεξε αυτά που χρειαζότανε για τις δικές του μετρήσεις, και ξέροντας ότι οι ιερείς, βιαζόντουσαν (ξέρετε, διαπραγματευόντουσαν με κάποιους “επενδυτές”... Γερμανούς... – Δεν ξέρω), πάει και τους λέει:
«Εγώ, μπορώ να σας παραδώσω το αποτέλεσμα της μέτρησης εντός της αύριον. Αλλά, θα σας κοστίσει κάτι παραπάνω...»
Η θυμηδία που μας προκάλεσε η διήγηση του μικρού βοηθού δεν με έκαμε (πού, τέτοιο πράγμα;...) να λησμονήσω το δικό μου:
«Και αν, η πυραμίδα έχει (περίπου) δεκαπλάσιες διαστάσεις από την προηγουμένη;»
Ο “μικρός” με κοίταξε,... στη αρχή: εξεταστικά. Κατόπιν, “πονηρά”. (Προσπαθούσε να εννοήσει – όχι την λύση αλλά – αυτό που εννοούσα εγώ...) Στο τέλος, είπε:
«Κανένα πρόβλημα... αλλά, θα πρέπει, η πυραμίδα, να είναι “τέλεια” – όχι “σαρακοφαγομένη”... –Έτσι;»
Αφού το εξασφάλισε, έκαμε το εξής:
Πήρε ένα προηγούμενο σχέδιό του, το συνεπλήρωσε και είπε:
«Αυτό, το ΑΒΚ, δεν παριστάνει την έδρα της πυραμίδας αλλά ένα τρίγωνο, ισοσκελές, ζωγραφισμένο επάνω σε αυτήν την έδρα, που είναι η Α΄ΒΚ΄.
Βέβαια, το Α΄Β, το ξέρουμε γιατί μπορούμε να το μετρήσουμε...
Για να βρούμε λοιπόν το ύψος της πυραμίδας, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε το υ επί Α΄Β/ΑΒ – δεν ξέρω αν το είπα καλά...
Αλλά, νομίζω ότι, αυτά, τα έχουμε ξαναπεί.»
208η εικών:
Εάν ονομάσουμε υ΄, το ύψος της πυραμίδος, έχουμε:
υ΄= υ · Α΄Β/ΑΒ.
«Ποία είναι αυτά που έχουμε ξαναπεί;»
«Να, ότι τα τρίγωνα ΑΒΚ και Α΄ΒΚ΄, είναι ομοιόθετα...»
Ήλθε η στιγμή για την παρατήρησή μου:
«Αυτό, το υ, τί είναι; Ύψος κάποιας πυραμίδας ή, ύψος της έδρας της. Διότι, προηγουμένως μας τα μπέρδεψες...»
Επανέφερε εις την μνήμη του τα όσα είχε πει και ερώτησε:
«Η ομοιοθεσία δεν ισχύει και για τα στερεά;»
Απήντησα στερεότύπως:
«Κοντά στο νου κι΄ η γνώση...»
«Ε, τότε, τα ξαναλέω:
Η πυραμίδα με παράπλευρη έδρα την Α΄ΒΚ΄ είναι ομοιόθετη της πυραμίδας με παράπλευρη έδρα την ΑΒΚ με κέντρο ομοιοθεσίας το Β και λόγο τον λ = Α΄Β/ΑΒ.
Εάν ονομάσουμε υ΄, το ύψος της πυραμίδας, έχουμε:
υ΄/υ = Α΄Β/ΑΒ και, άρα,:
υ΄ = υ·ΑΒ΄/ΑΒ.»
...
Κατόπιν αυτού, ο “μικρός”, με εκοίταξε με ύφος ερωτηματικό, σαν να ήθελε να μάθει εάν οι ερωτήσεις μου είχαν τελειώσει...
Το έμαθε:
«Αυτή την μέθοδο θα μπορούσε να την είχε εφαρμόσει ο Θαλής;»
«Όχι, βέβαια», απήντησε άνευ ουδενός δισταγμού.
«Διά τί;»
«Μα,... πρώτ´ απ´ όλα, η πυραμίδα εκείνη, που μετρούσε ο Θαλής, δεν ήταν τέλεια, όπως υποθέσαμε για τούτη...:
Ήταν φτιαγμένη από πέτρες και δεν ήταν ακουμπισμένη σε ένα τέλειο οριζόντιο επίπεδο...»
Ξερόβηξε και συνέχισε:
«Και, μετά, εκείνη δεν είχε ύψος δεκαπλάσιο από το “μπόϊ” του Θαλή αλλά, σχεδόν, εκατονταπλάσιο... – αφού μου έχεις πει ότι, το ύψος της, είναι πάνω από ...σαράντα πατώματα...»
Εδώ, ο βοηθός μου, αντελήφθη ότι οι ερωτήσεις μου είχαν τελειώσει... Οπότε, συνεπέρανε:
«Καταλάβαμε ότι, ανάλογα με το μέγεθος της πυραμίδας επιλέγουμε και μέθοδο μέρτησης του ύψους της (ή κάποιου άλλου πράγματος).»
Διακινδύνευσα μία τελευταία ερώτηση... Ήθελα να δω εάν η απάντηση του “μικρού” θα “ταίριαζε” με εκείνη που είχα δώσει κι΄ εγώ... και να διαπιστώσω εάν «Τα τεχνικά “πνεύματα” συναντώνται»:
«Η μέθοδος με την χρήση της σκιάς σε τί μέγεθος πυραμίδος ταιριάζει;»
«Χμμμ... σε μία μικρή και χαρτονένια (ή/και, ξύλινη)... που, κάποιος, την έχει ακουμπισμένη επάνω στο τραπέζι και την εξετάζει... Στον τοίχο υπάρχει ένα λυχνάρι... Κοιτάζει, λοιπόν, την πυραμίδα, βλέπει και την σκιά της... Έ, κάπως έτσι... μπορεί να ξεκίνησε και ο Θαλής... ή, μάλλον, όχι ο Θαλής αλλά, αυτός που φαντάστηκε το πως ξεκίνησε...: Που να καθόμαστε, τώρα, και να τα συζητάμε...»
Εστράφην προς την καθηγήτρια – πως την είχα ...λησμονήσει τόσην ώρα:
«Βλέπεις, αγαπητή μου: Οι εποχές αλλάζουν, οι λύχνοι γίνονται “σποτάκια” αλλά, τα μυαλά, δεν αλλάζουν: Όσα είναι φτιαγμένα διά ...να ρέπουν προς τις σκιές, θα ρέπουν...»
Ο “μικρός” νόμισε ότι μιλούσα περί αυτού και ...παρεξηγήθηκε:
«Εγώ, πάντως, μάστορα, ποτέ δεν θα έκανα τέτοια χαζομάρα...»
«Τί εννοείς;» είπα.
«Ε, να, αυτό με την σκιά – και επομένως, δεν την έκανε ούτε ο Θαλής...»
«Τί εννοείς;» επανέλαβα.
«Ε, κοίταξε...: Προχθές,... δηλαδή, τις προάλλες, σκεφτόμουν όλα αυτά, με την σκιά... και είπα: «Για, να μετρήσω το ύψος μίας πολυκατοικίας»...: –Αμ, δε... Διότι η σκιά του πάνω μέρους της, ήταν τόσο “θαμπή” που δεν μπορούσα να καταλάβω πιο σημείο της έπρεπε να πάρω... Σκέψου, τώρα, πόσο “θαμπή” θα ήταν η σκιά της κορυφής της πυραμίδας... που έχει ύψος δεκαπλάσιο...»
Εγώ, και η καθηγήτρια, κοιταχτήκαμε, ταυτοχρόνως:
Πώς δεν το είχαμε σκεφθεί;... δηλαδή, το φαινόμενο της περίθλασης του φωτός ...και της σκιάς...
...
Τέλος πάντων, εγώ θέλησα να ελέγξω το τρόπο σκέψης του μικρού...:
«Ποία σημασία έχει το ύψος της πυραμίδος; Δηλαδή, όσο πιο ψηλή, τόσο πιο “θαμπή” η σκιά της κορυφής της;»
«Μάλιστα.»
«Αυτό, πώς το συμπεραίνεις;»
«Το συμπεραίνω γιατί εγώ παρατήρησα πως την σκιά της κόχης της πολυκατοικίας... Όσο πήγαινε από την βάση προς την κορυφή, τόσο και “θάμπιζε” η σκιά της... Σκέψου, τώρα, αυτή η σκιά, να μην έπεφτε στο πεζοδρόμιο αλλά πάνω στην άμμο... που φτιάχνει σκιές μόνη της... ξέρεις οι κόκκοι ρίχνουν σκιά ο ένας στον άλλο και έχουν και αντανακλάσεις (γιατί είναι σαν “καθρεφτάκια”) ...και όλα μπερδεύονται... Ε, και αλφαδιασμένη να την είχε κάνει, ο Θαλής, πάλι δεν θα μπορούσε να “βγάλει άκρη”... Η πυραμίδα είναι ψηλή, σαν ...βουνό. Υπάρχουν βουνά με μυτερές κορυφές... Αυτά τα βουνά, πολλές φορές, ρίχνουν σκιά, π.χ. όταν ανατέλει ο ήλιος πίσω από αυτά... Μετά από ώρα, εμείς δεν είμαστε πιά στη σκιά αλλά στον ήλιο... Όμως, ποτέ δεν έχουμε δει που ακριβώς σταματάει η σκιά ενός βουνού ή, της κορυφής του... όσο και μυτερή να είναι αυτή. Αυτό σημαίνει ότι η σκιά, στην άκρη της είναι τόσο θαμπή, και σε τόση έκταση... που δεν φαίνεται.»
...
Αναλογίστηκα ότι, οι τόσες λύσεις που είχα σκεφθεί οι σχετικές με την χρήση της σκιάς (και οι τόσες του βοηθού μου) εβασίζοντο επί μίας ...ανοησίας:
«Δεν πειράζει», είπα ενδομύχως «ήταν παρά μία εξάσκηση του νου... Ίσως, δε, αυτήν την εξάσκηση να επεδίωκαν και εκείνη που επενόησαν τα σχετικά» ...πήγα να τους δικαιολογήσω αλλ΄, αμέσως σκέφτηκα πως εάν, όντως, επεδίωκαν αυτό, δεν θα είχαν “κολλήσει” σε μία και μοναδική λύση... Ας είναι, τους είμαι υπόχρεως, διότι το δικό τους “κόλλημα” υπήρξε αφορμή γιά την δική μου νοητική εξάσκηση...
No comments:
Post a Comment