36. «Βέλτιον οψιμαθή καλείσθαι ή, αμαθή»
(«Καλλίτερα να σε αποκαλούν:
οψίμως μανθάνοντα παρά: αμαθή».)
(«Καλλίτερα να σε αποκαλούν:
οψίμως μανθάνοντα παρά: αμαθή».)
Όλη αυτήν, την τελευταία φάση, η καθηγήτρια έμοιαζε σαν να είχε μείνει “παραμελημένη” ή, μάλλον, “αποτραβηγμένη”...
Εν τέλει ωμίλησε:
«Αγαπητέ ξυλουργέ... κι´ εσύ, αγαπητέ βοηθέ, μου επιτρέπετε, αυτά τα τελευταία... χμμμ... και τα άλλα, δηλαδή, όλα, να τα διδάξω ως ασκήσεις στους μαθητές μου;»
Ο “μικρός”, κοκκίνησε...
«Κυρία μου, μεγάλη μας τιμή», είπα εγώ και, το εννοούσα, ή, (χμμμ) εν πάση περιπτώσει, δεν ήτο ειρωνικόν... Και, ούτε, η φίλη μου, το εξέλαβε ως τοιούτον:
«Η τιμή, είναι δική μου», είπε... «Και όχι μόνον η τιμή αλλά, και η ευκαιρία...»
«Ποία ευκαιρία;» την ερώτησα.
«Η ευκαιρία γιά την ανάπτυξη της μαθηματικής μου σκέψης ή, και της επιστήμης...»
Μου εξήγησε, αναλυτικότερον:
«–Έχουμε συνηθίσει να θεωρούμε ως μη μαθηματικά, πολλά πράγματα, τα οποία ...δεν είναι “τέτοια” (μαθηματικά), επειδή, δεν έχουν (ακόμη;) μαθηματικοποιηθεί.»
Θέλησα να το διευκρινίσω:
«Ομιλείτε, βεβαίως, περί των τεχνικών θεμάτων...»
«Ναι, βέβαια... όπως αυτά που έχουμε συζητήσει τόσες φορές.»
Καθόλου δεν ήθελα να την δυσαρεστήσω... αλλ΄ έπρεπε και να θέσω το ζήτημα σε κάποια (ορθή;) βάση:
«Νομίζω», είπα, «ότι, εσείς οι μαθηματικοί, διαπράττετε κάτι χειρότερο: Αντί να μαθηματικοποιείτε εκείνα που δεν έχουν γίνει, εισέτι, μαθηματικά, καταστρέφετε την μαθηματικότητα και εκείνων που την είχαν ήδη αποκτήσει, κατά το παρελθόν.»
Η φίλη μου ήτο προετοιμασμένη διά να διαφωνήσει ή, μάλλον, δεν ήτο προετοιμασμένη διά να συμφωνήσει:
«Μπορείτε να μου εξηγήσετε, τι ακριβώς εννοείτε; Τί, ήταν “μαθηματικό” και το αλλάξαμε;»
«Αγαπητή, μου... μπορώ να αρκεσθώ εις αυτό, που είναι η πιο αρχική έννοια της γεωμετρίας: Το σημείο:»
«Εεε, αυτό, δεν το “απομαθηματικοποιήσαμε”...: Απλώς, δεν το ορίζουμε...»
«Ο Ευκλείδης, διά τί, το ορίζει;... Ή, μάλλον πώς, το ορίζει;»
«Αγαπητέ μου», έκαμε ανυπόμονα, «αυτά, τα έχουμε πει...:
Εάν, εσείς, θέλετε, (ξανά)πείτε μου, πως και γιατί το ορίζει...»
Και όμως, αυτό που ήθελα να της πω δεν της είχα «ξανά»πει:
«Εγώ σας λέγω, λοιπόν, ότι δεν το ορίζει – όπως το εννοείτε εσείς (εξ ου και η αδυναμία σας να κατανοήσετε τους ορισμούς του):
–Το μαθηματικοποιεί. Το αυτό πράττει και με την ευθεία κτλ.»
«Εσείς λέγατε ότι τα ...“μαστορικοποιεί”...»
«Το ίδιο κάνει: Η ουσία είναι ότι, ο Ευκλείδης, δεν λέει: «όσοι δεν ξέρετε τι είναι το σημείο, ελάτε να σας το μάθω εγώ...»:
Αλλοίμονο, εάν έπρεπε να μάθει εις τους Έλληνες το τι είναι το «σήμα/σημείον»... λέξεις ...με τόσα παράγωγα και τόσα σύνθετα...
Εκείνο που κάμνει είναι ότι προσδίδει εις το «σημείο» μία ιδιότητα διά της οποίας το καθιστά χρήσιμον διά μαθηματική (και μαστορική) χρήση. Αυτό εννοώ, εγώ, λέγων ότι το μαθηματικοποιεί;»
Έδειξε πολύ μεγάλο ενδιαφέρον. Οπότε συνέχισα:
«Δεν λέγει: «το σημείο είναι αυτό» αλλά, λέγει: «το σημείο έχει αυτή την ιδιότητα»... Ποία είναι αυτή; –Αυτή η οποία το καθιστά μονοσημάντως ορισμένο, ήτοι, να μη μερίζεται· να μην έχει “πάνω”, “κάτω”, “δεξιά”, “αριστερά”, ...“βορειοδυτικά” κτλ.»
«Σημείον εστίν ου μέρος ουθέν», έκαμε η φίλη μου με στόμφο.
Κατόπιν συνέχισε:
«Ναι αλλά, δεν βλέπω κάποια άλλη, ιδιαίτερη ανάγκη... Θέλω να πω, ότι (όπως είπες κι΄ εσύ) τόσο οι μαθηματικοί όσο και οι ξυλουργοί, την ίδια έννοια του σημείου, χρησιμοποιούν.»
«Χμμμ... έχετε... ή, μάλλον: έχουμε να μάθουμε πολλά:
Όταν ο Ευκλείδης μαθηματικοποιεί την γραμμή, λέγων ότι είναι «μήκος απλατές», εξασφαλίζει ότι, η τομή δύο γραμμών, θα είναι σημείον, «ου μέρος ουθέν». Διότι, εάν οι γραμμές – π.χ. οι ευθείες – είχαν ένα πλάτος, π, τότε η τομή τους θα ήταν ένας ρόμβος – Ορθώς;»
«Μάλιστα», έκαμε με προθυμία, όταν είδε το επόμενο σχήμα:
209η εικών:
Εάν οι ευθείες δεν ήταν απλατείς αλλά, είχαν πλάτος, π,
τότε, η τομή τους δεν θα ήταν σημείο αλλά, ρόμβος.
Θα πρέπει να παραδεχθείς», συνέχισα «ότι, ο μαθηματικός... δεν θα είχε το “δικαίωμα” να θεωρεί “τέτοιες” ευθείες (απλατείς) και “τέτοιες” τομές τους (σημειακές), εάν, ο ξυλουργός, δεν εγνώριζε πώς να τμήσει διά να ενώσει, δύο υλικές ευθείες, π.χ., δύο καδρόνια.»
«Μάλιστα», έκαμε με ...απροθυμία, προτού να δει το σχήμα που της έδειξα (πιο κακοφτιαγμένο από αυτό της εικόνος που ακολουθεί):
210η εικών:
Η ένωση δύο καδρονιών,
...αποκρύπτει την τομή τους...
«Τίνος είδους τομή ή,... ένωση είναι αυτή;» ερώτησε.
«Ένωση κατά την οποία τέμνονται οι (διαμήκεις) άξονες των δύο καδρονιών...»
«Θα έλεγα, πως είναι πολύ ...ανορθόδοξη ένωση...», είπε.
«Εγώ θα έλεγα κάτι άλλο:
Ότι, ο μαθηματικός, έχει την “(ανταποδοτική;) υποχρέωση” να βοηθήσει τον ξυλουργό, εις την μαθηματικοποίηση (π.χ.) της εννοίας: ένωση-τομή καδρονιών ή/και να τη πραγματοποιήσει, αντ΄ αυτού.»
«Πολύ ενδιαφέρον», έκαμε, «και πολύ σύμφωνο με αυτό που εννοούσα όταν μίλησα για την ευκαιρία ανάπτυξης της μαθηματικής επιστήμης... Αλλά, μπορείτε να μου πείτε κάτι περισσότερο;»
«Πολύ ευχαρίστως», έκαμα. Σχεδίασα κάτι χειρότερο και από το προηγούμενο και είπα:
«Ο ξυλουργός δεν γνωρίζει ότι, «τομή», ονομάζεται/τε τα κοινά σημεία των καδρονιών ενώ, «ένωση», τα κοινά και μη κοινά.»
211η εικών:
Η τομή των δύο καδρονιών (τα κοινά τους σημεία) είναι
αντίστοιχη και ενδεικτική του τρόπου ένωσής των.
«Αυτό που, εμείς, λέμε: «τομή», οι ξυλουργοί, πώς το λένε;»
«Α, μπορεί και να μη το «λένε». Αλλ΄, ενίοτε, το εννοούν ως «σύνδεσμο» ή, ως «σύνδεση». –Ξέρετε τί (μπορεί να) σημαίνουν όλα αυτά; δηλαδή, πόση μαθηματική-μαθησιακή ύλη μπορεί να προκύψει; (Μία ύλη την οποία, ο ξυλουργός (μόνος), δεν έχει την κατάλληλη παιδεία ή, την θεωρητική προετοιμασία διά να διαχειριστεί...)»
«Αυτό, προσπαθώ να καταλάβω κι΄ εγώ...»
Της εξήγησα (κατά το δυνατόν):
«Διά των όρων: «τομή», «αφαίρεση», «πρόσθεση» κτλ, ή/και «πολύεδρο», «πρίσμα», «κύλινδρος»... μπορούμε να περιγράψουμε και την πλέον δύσκολη σύνδεση ή, σύνδεσμο.»
Ενώ, εκείνη απορούσε (και ευλόγως...), εγώ, προσέθεσα:
«Αναλογισθείτε δε, πόσα πράγματα σαν και αυτά χρειάζεται να γνωρίζει εκείνος που (π.χ.) θα κατασκευάσει ένα κανονικό πολύεδρο όπως αυτά που σας κατασκεύασα ως εποπτικά όργανα...»
Σχεδίασα προχείρως μία σύνδεση και, κάτωθεν του σχεδίου, διετύπωσα το ζητούμενο:
212η εικών:
Ζητείται μία (μαθηματική) περιγραφή αυτής της σύδεσης,
τέτοια ώστε, να την αντιλαμβάνεται και ένας τυφλός.
«Φοβάμαι ότι δεν διαθέτω τις απαραίτητες γνώσεις και την κατάλληλη ορολογία για να την περιγράψω...»
«Δοκίμασε», την ενεθάρρυνα.
«Η τομή των τεσσάρων καδρονίων», άρχισε «είναι ένας κύβος... ή, μάλλον ένα ορθό πρίσμα, με βάση τόση, όση και η «διατομή» (όπως την λέτε) του καδρονιού...:
Αφαιρούμε από την τομή αυτή ένα κύλινδρο, ομοαξονικό προς τον άξονα του κύβου...»
Διέκοψε και με κοίταξε, αμήχανα:
«Δεν ξέρω εάν, εσείς, γνωρίζετε την περιγραφή... αλλά, εγώ, νομίζω ότι απαιτεί ολόκληρο άρθρο...»
«Χμμμ..., το πλήθος των περιπτώσεων, απαιτεί ολόκληρο βιβλίο... Ένα βιβλίο, το οποίο πρέπει να το γράψει μαθηματικός...:
Διότι – όπως έχω διαπιστώσει, από το σχολείο – οι μαθηματικοί είναι εξαιρετικά κατάλληλοι εις την διερεύνηση ...περιπτώσεων.
Ιδού, ως παράδειγμα, ορισμένα στοιχεία των περιπτώσεων που μας ενδιαφέρουν όταν έχουμε, π.χ., μία σύνδεση εις την οποία γίνεται χρήση προσθέτου στοιχείου ήτοι: συνδέσμου:
- Πώς είναι (η γεωμετρία του συνδέσμου).
- Τί κάνει (ποία αποτελέσματα επιφέρει).
- Πότε, πού και πώς χρησιμοποιείται.
- (Γιατί αυτός και όχι ...άλλος).
«Εννοείς», έκαμε έκπληκτη, «ότι, ένας μαθηματικός θα το κάνει καλλίτερα από σένα...»
«Εννοώ, ότι, εγώ, θα το έκαμνα “κατ΄ απομίμηση”... και ότι είμαι κατάλληλος μόνο διά να βοηθήσω, προσφέροντας ... “υλικό προς διερεύνυση” – όχι όμως, και να κάμω, αυτήν την διερεύνηση...»
Η φίλη καθηγήτρια, φάνηκε σαν να μην επείσθη περί του εν λόγω πλήθους και της ποικιλίας των περιπτώσεων.
Έκρινα σκόπιμο να σχεδιάσω, επιπροσθέτως, κάποια πράγματα, (πολύ πιο κακοφτιαγμένα από τα απεικονιζόμενα):
«Θα σου δείξω κάποιες πολύ απλές περιπτώσεις συνδέσμων και θα τις συνοδεύσω με στοιχειώδη σχόλια:»
213η εικών:
Καβίλια: Αμοιβαία προσπέλαση των υπό σύνδεση μερών,
μόνον κατά την διεύθυνση του διαμήκους άξονός των.
Σύνδεση, κρυφή, μη ανθεκτική εις την στρέψιν ή,
την απομάκρυνση των μερών της.
214η εικών:
Δύο καβίλιες: Αμοιβαία προσπέλαση των υπό σύνδεση μερών,
μόνον κατά την διεύθυνση του διαμήκους άξονός των.
Σύνδεση, κρυφή, ανθεκτική εις την στρέψιν
αλλ΄ όχι εις την απομάκρυνση των μερών της.
215η εικών:
Πρόσθετο “μόρσο”: Αμοιβαία προσπέλαση των
υπό σύνδεση μερών, κατά την διεύθυνση του διαμήκους άξονος
ή/και, καθέτως προς αυτόν (πλην, προς μία μόνον κατεύθυνση).
Σύνδεση, φανερή, ανθεκτική εις την στρέψιν
αλλ΄ όχι εις την απομάκρυνση των μερών της.
216η εικών:
Διπλή “χελιδονοουρά”: Αμοιβαία προσπέλαση
των υπό σύνδεση μερών, μόνον καθέτως προς τον διαμήκη άξονα.
Σύνδεση, φανερή, ανθεκτική εις την στρέψιν και
εις την απομάκρυνση των μερών της,
τόσο κατά μήκος όσο και κατά πλάτος
(πλην προς μία μόνον κατεύθυνση).
217η εικών:
Τίνος είδους οκτάεδρο είναι το “σώμα” του συνδέσμου και
ποία πρέπει να είναι η διατομή του καδρονίου
ώστε, αυτό το οκτάεδρο, να είναι κανονικό;
«Με αυτά τα πράγματα έπρεπε να ασχοληθείς,.. όχι να ασχολείται με εκείνα που ...έκανε ο Θαλής.»
Της απήντησα καταλλήλως:
«Κι΄ εσύ, με «αυτά τα πράγματα» έπρεπε να ασχοληθείς,.. όχι να μην ασχολείται ούτε με εκείνα που ...έκαμε ο Θαλής.»
«Με ειρωνεύεσαι;... Σου λέω ότι ενδιαφέρομαι να ασχοληθώ.»
«Θα σου υπενθυμίσω την γενεσιουργό αιτία του ενδιαφέροντός σου... –Διά τί, ενδιαφέρεσαι, τώρα και, όχι ...πέρυσι;»
«Εάν εννοείς ότι επηρεάστηκα... ίσως είναι αλήθεια... Πάντως... «κάλλιο αργά, παρά ποτέ»... ή, μάλλον, «γηράσκω αεί διδασκομένη»...
Λοιπόν, θα με βοηθήσεις να γράψω το βιβλίο που λες;»
«Όχι...»
Δεν το περίμενε...:
«Μήπως μου κάνεις αντίποινα που δεν σε βοήθησα στη μελέτη σου, για τον Θαλή;»
«Χα, χα, χα... Αφού με το να μη με βοηθήσεις, επαλήθευσες τις απόψεις μου» (Βλέπε εις το τέλος του προηγουμένου μέρους.)
«Αλλά», συνέχισα, «πρέπει να διευκρινισθεί ένα πράγμα:
Κατ΄ αρχάς δεν πρέπει να συγχέουμε την αειμάθεια (εις την οποία λέγεις ότι επιδίδεσαι) με την οψιμάθειά σου, επί θεμάτων που (μάλλον) θα έπρεπε γνωρίζεις. Δεν λέγω ότι, η οψιμάθεια, είναι κακή ούτε ότι είναι ...καλλίτερη από την αμάθεια, καθόσον, κάθε άλλο παρά αμαθής είσαι. Αλλά, περί των θεμάτων που, εσύ, ενδιαφέρθηκες οψίμως, εγώ, τα έχω μελετήσει επί πολύ...»
«Τό ΄πιασα το υπονοούμενο», έκαμε: «Αλλά, όταν είπα να με βοηθήσεις, δεν εννοούσα ...να σε πάρω βοηθό μου...»
Αντέδρασα:
«Μα, αυτό ακριβώς, έπρεπε να εννοείς... αφού, μόνος μου, το είπα... Και, για να μη λέμε πολλά: Εγώ, θα σε βοηθήσω μόνον εάν είμαι βέβαιος ότι θα το κάνεις και χωρίς την βοήθειά μου...»
«Μου βάζεις ...άσκηση», έκαμε σαν να εννοούσε, κάτι που ... (που... δεν μ΄ ενδιαφέρει).
«Κυρία μου, θέλω να είναι σαφές το ποίος θα είναι ο υπεύθυνος διά την συγγραφήν. Και, να είναι σαφές ότι, αυτός, δεν θα είμαι εγώ.»
«Και, γιατί, αυτό;»
«Διότι, προβλέπω ότι, ένα τέτοιο βιβλίο δεν θα το γράψετε και δεν θέλω να επικαλείσθε την έλλειψη της δικής μου βοηθείας...»
«Και αν (θέλω αλλά) δεν μπορέσω να το γράψω...», με ερώτησε με ειλικρινή ανησυχία.
«Θα μπορέσεις να γράψεις κάτι άλλο...: Τόσα μαστορικά πράγματα περιμένουν να μαθηματικοποιηθούν...»
Διείδα “κάτι”, εις την όψιν της και έκρινα ότι έπρεπε να... επενεργήσω:
«Και μη φοβάσαι, μήπως, ...σε “κακοχαρακτηρίσουν”, ως ...ρέπουσα προς την μαστορικήν...: Αρκεί να ενθυμηθείς το εξής:
Το πλέον διάσημο γεωμετρικό πρόβλημα», της υπέμνησα, «αυτό, του διπλασιασμού του κύβου, ετέθη εις τους ανθρώπους, ως πρόβλημα μαστορικό και, δη, τη μεσολαβήσει, αυτού τούτου, του Θεού: «Να διπλασιάσεται τον βωμό μου», τους είπε ο Απόλλων.
–Τί ήτο ο βωμός;
–Ένα (κυβικό) κτίσμα.»
218η εικών:
Ο Απόλλων λέγων:
«Όχι αυτό που δείχνω αλλ΄, αυτό που κρατώ...»
Πηγές:
http://en.wikipedia.org/wiki/Apollo
http://www.cocorepublic.com.au/furniture-and-homewares/
product-listing/side-tables/08-cube-marble/
http://www.cafa.com/marbleurns.htm
Της απήντησα ως εξής:
«Σας έχει τύχει ποτέ να ανεβαίνετε μία σκάλα και, το τελευταίο σκαλί να έχει μικρότερο ύψος από τα άλλα;»
«Ού,... βεβαίως, τις προάλλες, πήγα να “γκρεμοτσακιστώ”...»
«Χμμμ... αυτό, λοιπόν, δεν χρειάζεται να σας το πει κάποιος...»
219η εικών:
Μία σκάλα, ...παρ΄ ολίγον μαστορική...
Τώρα, αν κάποιος δεν ξέρει να βρει το πηλίκο μιας διαίρεσης...»
«Το πρόβλημα δεν είναι να εύρει το πηλίκον αλλά, τον διαιρέτη.»
«Δεν αντιλαμβάνομαι...»
Της εξήγησα:
«Το τελικό ζητούμενο, ήτοι, το ακριβές ύψος εκάστου σκαλο-πατιού, είναι το πηλίκον μίας διαιρέσεως της οποίας ο διαιρετέος είναι το ύψος της σκάλας και ο διαιρέτης, ο πλησιέστερος ακέραιος του πηλίκου μίας διαιρέσεως της οποίας διαιρετέος είναι το ύψος της σκάλας και διαιρέτης ένα υποθετικό (“ιδανικό”) ύψος σκαλοπατιού.»
Την κοίταξα “αθώα” και την ερώτησα:
«Μήπως δεν καταλάβατε κάτι;»
«Αυτό που είπες, όντως, ...δεν το κατάλαβα», απήντησε. «Αλλά, κατάλαβα αυτό που πρέπει να γίνει:
Έχουμε ένα “ιδανικό” ύψος σκαλοπατιού... π.χ. 17 εκατοστά...
Διαιρούμε το ύψος της σκάλας διά του 17 για να δούμε πόσα σκαλοπάτια χωράει... Εάν βρούμε (π.χ.) “15,7” ή, “16,2”, λέμε ότι τα σκαλοπάτια θα είναι (π.χ.) 16. Τότε διαιρούμε το ύψος της σκάλας διά του 16 και ευρίσκουμε το ύψος εκάστου σκαλοπατιού...»
Ξερόβηξε και είπε:
«Αλλά, γιατί δεν το είπες έτσι, απλά; Για να με δυσκολέψεις και ...να μου κάνεις τον έξυπνο;»
«Ίσα-ίσα, σου το έκαμα λίγο δύσκολο, για να μην ...εντραπείς που δεν το σκέφτηκες, προτού να σου το πω...»
...
Είπαμε και μερικά πράγματα ακόμη...
...
Εάν υπάρξει κάποια σχετική μελέτη της καλής μου φίλης, θα υπάρξει και η σχετική αναφορά, εδώ – εις την επομένη έκδοση (εάν υπάρξει τοιαύτη). Ή, διά να είμαι σαφέστερος και ακριβοδικαιότερος:
Εν όσω δεν θα υπάρχει σχετική αναφορά, δεν θα οφείλεται εις δική μου αμέλεια αλλ΄, εις απουσία κάποιου πράγματος που θα έπρεπε να αναφερθεί...
...
Εις το σημείο αυτό, τελείωσε η συζήτηση μεταξύ εμού και της καθηγητρίας και συνεχίστηκαν δύο άλλες:
Της καθηγητρίας μετά της συνειδήσεώς της και εμού μετά της εμής....
No comments:
Post a Comment