ΜΕΡΟΣ ΠΕΜΠΤΟΝ
Λύσεις προκύπτουσαι
εκ μίας ...φάρσας
και άλλα τινά.
* * *
34. Λύσις δια της χρήσεως
του αναπτύγματος της πυραμίδος.
του αναπτύγματος της πυραμίδος.
Εν όσω η συνομιλήτριά μου ωμιλούσε και, ιδιαιτέρως κατά την τελευταία φάση, αυτήν με τα «ιστορικά στοιχεία», τελούσα εν απορία ή/και εν αδυναμία ευρέσεως μίας απαντήσεως.
Αίφνης, κάτι σαν να “άστραψε” εις τον νουν μου... κάτι που μου επέτρεψε ή, μου υπαγόρευσε να ενεργήσω ως ...ομοιοπαθητικός (και, δεν επρόλαβα να αντιληφθώ, μήπως, πρώτα εσκέφθην να ενεργήσω ως τοιούτος και, κατόπιν, επήλθε η “αστραπή”):
«Αγαπητή μου, περί των ιστορικών στοιχείων, θα σου πω τούτο:
–Ας πούμε ότι, έχει υπάρξει ένας αρχαίος ...“φαρσέρ” και πως, αυτός, είχε γράψει τα εξής:»
Ομίλησα ως “εκείνος” (ο “φαρσέρ”):
«Ιδού πως ενήργησε, ο Θαλής, διά να μετρήσει το ύψος της Πυραμίδος του Χέοπος:
- 1ον: Μέτρησε την πλευρά ΑΒ της βάσης ΑΒΓΔ της πυραμίδος.
- 2ον: Μετά, μέτρησε μία ακμή της... δηλαδή, ξεκινώντας, π.χ., από την κορυφή της βάσεως Β, “σκαρφάλωσε”, μέχρι την κορυφή της πυραμίδος, Κ.
- Έτσι έμαθε τις τρεις πλευρές (ΑΒ, ΒΚ=ΚΑ) του τριγώνου ΑΒΚ, ήτοι, της παράπλευρης έδρας της πυραμίδος, οπότε, το τρίτωνο αυτό έγινε κατασκευάσιμο.
- 3ον: Με γνωστό, το τρίγωνο ΑΚΒ και την ΑΒΓΔ, έκαμε ένα ανάπτυγμα της πυραμίδος υπό κλίμακα...»
Με κοιτούσε ενοχλημένη και με έκδηλη την απορία περί του τρόπου διά του οποίου έπρεπε να με αντιμετωπίσει.
Προς επίταση της ενόχλησεώς της... προσεποιήθην πως ενόμισα ότι δεν κατενοούσε τα λεγόμενά μου:
«Να σου φτιάξω ένα σχήμα για να γίνει αντιληπτό:»
Έκαμα ένα σχήμα (προχειρότερο αυτού που ακολουθεί):
196η εικών:
Το ανάπτυγμα της Πυραμίδος του Χέοπος.
«Νομίζεις ότι εκείνο που μου μου έλειπε... ήταν το σχήμα;
–Μα, για ποιον ...«φαρσέρ» και ...«φάρσες» μου μιλάς;...
–Τί είν´ αυτά τα πράγματα;»
Αδιαφόρησα για το ξέσπασμά της και συνέχισα, ήρεμα:
«Εάν, λοιπόν, ο ...Διογένης ο Λαέρτιος, είχε ακούσει και είχε μεταφέρει την εν λόγω φάρσα, τώρα, αυτή, θα ήταν ...«ιστορικό στοιχείο; Κι´, εσύ, θα το είχες πιστέψει...»
«Τί να πιστέψω;», έκαμε. «–Αυτήν, εδώ, την σαχλαμάρα;»
«Αυτή η «σαχλαμάρα» είναι πιο αξιόπιστη από εκείνη που έχεις πιστέψει (εσύ και τόσοι άλλοι): Ότι, δηλαδή, ο Θαλής, μέτρησε την πυραμίδα με μέτρο ...το μπόϊ του...»
(Παρέλειψα σκοπίμως να της αναφέρω τις παρατηρήσεις που είχε κάμει, ο βοηθός μου, τις σχετικές με την “στρογγυλάδα” της κεφαλής του Θαλού.)
Η συνομιλήτριά μου συλλογίστηκε και είπε:
«Αυτό, με την σκιά του ίδιου του Θαλή, (τώρα) κι΄ εγώ, το βρίσκω, κάπως, απλοϊκό... Όμως, κι΄ αυτό, το “δικό σου”, με το σκαρφάλωμα, είναι γελοίο (συγνώμη αλλά, το ξέρεις...). Και θα το θεωρούσα γελοίο, μακάρι να το είχε γράψει και ...ο Ηρόδοτος.»
«Ναι, αλλά», επέμεινα, «εάν, όντως, το έβλεπες γραμμέέένο;;;»
«Απλώς θα κορόϊδευα και δεν θα ασχολιόμουνα...
Εσύ, δηλαδή, τί θα έκανες;»
«Εγώ(;). Εγώ, θα φώναζα τον ...νοήμονα βοηθό μου...»
Προτού να αντιδράσει, συνέχισα:
«Και, έτσι, θα σου δοθεί η ευκαιρία να δεις, αν είμαι εγώ που του υπαγορεύω... αυτά που υποθέτεις ότι του υπαγορεύω:»
Κατάλαβε αυτό που έπρεπε:
«Θέλεις να πεις ότι θα βρει κάτι άλλο... κάτι, που θα μπορούσε να το είχε κάνει ...ο Θαλής;»
«Από αυτόν,... όλο και “κάτι” μπορείς να περιμένεις...», είπα, ελπίζων ότι θα εννοήσει αυτό που εννόησε:
«Εννοείς, “κάτι”, που δεν μπορούμε να περιμένουμε από εμάς;»
«Χμμμ,.. ναι, κάτι τέτοιο. Μόνο που, εγώ, δεν είπα ότι «δεν θα ασχολιόμουνα».»
«Καλά, θα δούμε», είπε, ελπίζοντας ότι θα διαψευσθώ...
...
Όταν ο μικρός βοηθός είδε το προηγούμενο σχήμα, ερώτησε:
«Τί είναι αυτό;»
«Εσύ, τί νομίζεις;»
«Χμμμ... Εάν μιλάτε (πάλι) για την πυραμίδα, αυτό, μπορεί να είναι το ανάπτυγμά της.»
«Και, λοιπόν;»
Ο μικρός, “μπήκε στο νόημα”:
«Με ρωτάς αν μπορούσε να το φτιάξει, ο Θαλής;»
«Ξέρω 'γω...» έκαμα.
«Έ», είπε, «έπρεπε να φτιάξει – ας πούμε – το τρίγωνο ΔΓΚ...»
197η εικών:
Μία παράπλευρος έδρα
της Πυραμίδος του Χέοπος.
«Την ΔΓ, την έχει, δηλαδή, μπορεί να την μετρήσει...»
Η καθηγήτρια έσπευσε να επέμβει (ενώ ώφειλε να μη το πράξει):
«Κάπου είναι γραμμένο ότι, για να μετρήσει και την ΔΚ, σκαρφάλωσε μέχρι την κορυφή της πυραμίδας...»
«Τί σαχλαμάρες είναι αυτές – με συγχωρείτε κιόλας – αλλά,... μήπως με “δουλεύετε”;»
Νομίζοντας πως “τελείωσε το δούλεμα” έφυγε, προς μεγάλη ευχαρίστηση της μαθηματικού, η οποία με κοίταξε ως αν είχε κερδίσει κάποιο στοίχημα.
...
Η ευχαρίστησή της διήρκεσε όσο ...πέντε βήματα του “μικρού”.
«Πάντως», είπε, στραφείς προς το μέρος μας, «πολύ έξυπνη λύση... Και πολύ ακριβής... Πώς δεν την σκέφτηκα;...»
Η φιλοξενουμένη μου “πικράθηκε”:
«Μα, μόλις τώρα, είπες πως ήταν «σαχλαμάρα»...»
«Η λύση, δεν είναι σαχλαμάρα», έκαμε ο μικρός. «Σαχλαμάρα, είναι να λες πως, ο Θαλής, ...σκαρφάλωνε απάνω στην ακμή της πυραμίδας... λες και ήτανε καμμιά σαύρα...»
...
Αναμέναμε, “εναγωνίως”, την έκπληξη που μας επεφύλασσε:
«Πρώτα, θα φτιάξω ένα μεγάλο τρίγωνο ΑΒΚ...»
Το έκαμε, σχεδόν, τέλειο – και, συμπληρωμένο, ως εξής:
198η εικών:
Η γωνία ΚΆ΄Β΄ είναι ίση της γωνίας ΚΑΒ και υλοποιημένη.
(διά δύο κανόνων ε και ε΄), ήτοι, κατάλληλη προς μέτρηση.
«Το πρώτο που μπορεί να κάνει ο Θαλής, είναι να μετρήσει την γωνία ΑΒΚ (ή, την ΒΑΚ), την οποία θα φτιάξει ως εξής:
Θα ξαπλώσει επάνω στην έδρα ΑΒΚ της πυραμίδας μία τάβλα, οριζόντια, την ε.
Θα “ρίξει” και μία τάβλα, ε΄, επάνω στην ακμή ΑΚ που να αρχίζει από το σημείο Α΄ που είναι το σημείο που, η ε, τέμνει την ΑΚ.
Η γωνία Κ΄Α΄Β΄, είναι ίση με την ΚΑΒ».
Έκαμε να φύγει...
«Όταν θα μετρήσει την γωνία Κ΄Α΄Β΄, τί θα κάμει;», τον ερώτησα αυστηρά. (Δεν θέλω να αφήνει τις δουλειές στη μέση.)
«Μάστορα, έχω αφήσει την δουλειά στη μέση... και σε λίγο δεν θα μπορούμε να κάνουμε θόρυβο...»
«Πες αυτό που σε ρωτάω...»
Συμμορφώθηκε:
«Αφού βρει την γωνία αυτή, έχει τρεις λύσεις:
- Μία, να φτιάξει το τρίγωνο ΑΒΚ, κάπου αλλού (υπό κλίμακα) χρησιμοποιώντας την πλευρά ΑΒ και τις ίσες γωνίες ΑΒΚ και ΒΑΚ.
- Μία, να φτιάξει ένα τρίγωνο Α΄Β´ Κ´ ομοιόθετο του ΑΒΚ, όσο μεγαλύτερο μπορεί, και να υπολογίσει την ΑΚ (χρησιμοποιώντας αναλογίες).
- Μία, αντί για το τρίγωνο Α΄Β´Κ´, να κάνει το ορθογώνιο τρίγωνο Α΄Η΄Κ´ παίρνοντας, την κάθετο Κ´Η΄, από το Κ´... και να υπολογίσει το ύψος ΚΗ, του τριγώνου ΑΒΚ.»
199η εικών:
Τα τρίγωνα ΑΒΚ και Α΄Β΄Κ΄ είναι ομοιόθετα.
Ομοίως και τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΗΚ και ΑΉ΄Κ.
«Πάντως, εάν κάνει αυτό, μπορεί και να μη φτιάξει το ανάπτυγμα της πυραμίδας αλλά, να εφαρμόσει μία άλλη λύση, αυτή που είπα στον μάστορα, προχθές.»
(Εννοούσε την λύση που περιγράφεται εις το κεφάλαιο υπό τον τίτλο: «31. Η λύσις άνευ στοχεύσεως, εν τω μέσω της νυκτός».)
«Εξήγησέ το, βρε, και εις την κυρία...»
«Μη το αποπαίρνεις το παιδί», παρενέβη η φιλοξενουμένη μου παρ΄ ότι, ...ούτε το αποπήρα «το παιδί», ούτε είναι και ...παιδί (το λέγω χάριν της κυριολεξίας).
Αναζήτησε και εύρε ένα παλαιότερο σχήμα του (σχεδόν σωστό):
«Είχαμε δει», είπε, «ότι, το τρίγωνο ΜδΒβΚ, μπορεί να φτιαχτεί (από την βάση ΜδΜβ και τις προσκείμενες σ΄ αυτήν γωνίες, ω, ω). Τώρα βλέπουμε ότι το ίδιο τρίγωνο μπορεί να φτιαχτεί από τρεις πλευρές: Την ΜδΜβ, που είναι γνωστή (ίση με την ΑΒ) και τα ύψη των τριγώνων ΔΑΚ (το ΚΜδ) και ΒΓΚ, (το ΚΜβ) που, μόλις τώρα, μάθαμε το πως ευρίσκονται.»
200η εικών:
Δεδομένης της πλευράς ΗΗ΄ (= ΑΒ), εάν τα ύψη ΚΗ και ΚΗ΄
των τριγώνων ΔΑΚ και ΒΓΚ, αντιστοίχως, είναι γνωστά,
το τρίγωνο ΗΗ΄Κ κατασκευάζεται από τις τρεις πλευρές του.
«Η τάβλα που θα βάλει ο Θαλής εις την ακμή της πυραμίδος, θα έχει μήκος ...καμμιά πενηνταριά μέτρα, ε;...»
Με εκοίταξε παραξενεμένος... Εγώ, συνέχισα:
«Αυτό, σου το λέω επειδή μιλάς για ακρίβεια... Το ξέρεις ότι η ακμή της πυραμίδος μπορεί να είναι ...και διακόσια πενήντα μέτρα;»
«Χμμμ...: Όχι.»
«Ε, ο Θαλής όμως, το ήξερε...»
Θέλησε να είναι ...ταχύς:
«Ο Θαλής όμως, ήξερε πως αν έβαζε μία κανονική τάβλα... να πούμε: τεσσάρα...» (εστράφη προς το μέρος της καθηγητρίας) «εννοώ, τεσσάρων μέτρων μήκους, τότε, θα μπορούσε να πάει από δύο “πάντες” της πυραμίδας (δηλαδή, δύο έδρες της), σε ίσες αποστάσεις από την ακμή της, να βάλει το μάτι του κοντά στην επιφάνειά τους και να κοιτάξει αν η τάβλα φαίνεται με τον ίδιο τρόπο....»
«Ωραία ακρίβεια», έκαμα υποτιμητικά...
Δεν “το έβαλε κάτω”:
«Εάν δεν του αρέσει αυτό... θα κάνει κάτι άλλο... μόνο που πρέπει να το σκεφτώ:»
Εσκέφθη και είπε:
«Θα πάει σε ένα μέρος της περασιάς της ΔΑ, μακριά από το Α και θα στηρίξει ένα καντρόνι έτσι που, όταν το βλέπει από ένα άλλο, πιο μακρυνό σημείο της περασιάς, να φαίνεται σαν να είναι ξαπλω-μένο απάνω στην έδρα ΑΚΔ της πυραμίδας ή, στην ακμή της, ΑΚ...»
Το ξανασκέφτηκε και είπε:
«Όχι: Θα καρφώσει δύο κατακόρυφα παλούκια π1 και π2.
- Το π1, θα το καρφώσει σε ένα σημείο Π1 επάνω στην ΔΑ.
- Το π2 θα το καρφώσει σε ένα σημείο Π2 τέτοιο ώστε η Π1Π2 να είναι κάθετη επί την ΔΑ και πολύ μικρότερη από το ύψος του δευτέρου παλουκιού.»
201η εικών:
Η γωνία που σχηματίζεται από
τον πάσαλλο π1 και την τάβλα τ
είναι συμπληρωματική της γωνίας ω.
Θα την καρφώσει με ένα καρφί για αν μπορεί να την στρίβει...»
Παρενέβην:
«Σε ποιά έδρα του καδρονιού θα την καρφώσει; Εκείνη που είναι παράλληλος προς την ΔΑ ή εκείνη που είναι κάθετος;»
«Εκείνη που είναι κάθετος και προς το μέρος του... Δηλαδή, προς το αντίθετο μέρος από το αυτό που είναι η πυραμίδα...»
Κόμπιασε λίγο και είπε:
«Εδώ όμως, χρειάζεται βοηθό, για να μη πηγαινοέρχεται και να δοκιμάζει... Ο βοηθός, στρίβει την τάβλα γύρω από το Π1 ενώ την σέρνει επάνω στο π2. Ο Θαλής παρακολουθεί πότε θα φαίνεται σαν να είναι ...ξαπλωμένη επάνω στην έδρα ΔΑΚ. Τότε, θα πει στον βοηθό: «κάρφω» και, αυτός, θα καρφώσει την τ επάνω στο δεύτερο παλούκι. Όταν θα γίνει αυτό, θα έχουμε μία σταθερή γωνία αυτήν που θα σχηματίζει η τ με το π1, η οποία θα είναι η συμπληρωματική της ω.»
«Εάν ο Θαλής δεν είχε βοηθό», τον πείραξα, «τί θα έκαμε;»
Το πήρε “στα σοβαρά” και εσκέφθη:
«Θα έδενε την τάβλα με ένα ράμμα περασμένο σε ένα δίπροκο που θα είχε καρφώσει στην κορυφή του πρώτου παλουκιού και θα την τράβαγε μέχρι που να πετύχει αυτό που είπαμε. Τότε, θα έδενε το ράμμα σε ένα άλλο παλούκι που θα είχε καρφώσει από πριν... κτλ.»
Μετά ταύτα, συνεπέρανε:
«Μετά από αυτά, ο Θαλής, μπορεί να φτιάξει το ανάπτυγμα της πυραμίδας με μαθηματική ακρίβεια.»
Τον παρετήρησα:
«Αυτόν τον όρο: «μαθηματική ακρίβεια», να προσέχεις πότε και πώς τον χρησιμοποιείς... και μάλιστα εις επήκοον της κυρίας καθηγητρίας των μαθηματικών...»
Η φιλοξενουμένη μου το εξέλαβε ως ειρωνεία – χωρίς να αποκλείει και την ...κολακεία. Ουδ΄ έτερον είχα πράξει: Απλώς υπερασπίσθην το επιστημονικό ήθος του ξυλουργείου μου. Και ενώ ο βοηθός μου κοιτούσε με απορία του είπα τα εξής:
«Δεν μπορούμε να μιλάμε για «μαθηματική ακρίβεια» εάν δεν έχουμε μαθηματικοποιήσει τις ενέργειες διά των οποίων επετεύχθη:
Όταν λες ότι, ο Θαλής, θα βλέπει το καδρόνι ή, την τάβλα, «σαν να είναι ξαπλωμένη» επάνω στην έδρα ΔΑΚ της πυραμίδος ή, επάνω στην ακμή της ΑΚ, εννοείς ότι, αυτός, βλέπει την έδρα της πυραμίδος σαν την ακμή της – έτσι δεν είναι;»
«Μάλιστα», είπε.
«Άρα, η κόρη του οφθαλμού του, θεωρουμένη ως σημείο, θα κείται επί του επιπέδου της ΔΑΚ – ορθώς;»
«Ορθώς.»
«Διά να φαίνεται η τάβλα – η οποία είναι ένα πρίσμα – «σαν ξαπλωμένη» επί της ΔΑΚ θα πρέπει η επιμήκης στενή της έδρα (η πλησιέστερη προς την ΔΑΚ) και η ΔΑΚ να είναι ομοεπίπεδες...»
Έκαμα μία παύση και συνέχισα:
«Μπορούμε, χάριν απλότητος, να θεωρίσουμε την τάβλα, τ, ως ορθογώνιο παραληλόγραμμο και, την εν λόγω έδρα, ως ευθεία (τ);»
«Μπορούμε.»
«Άρα, η (τ) κείται επί το επιπέδου (ΔΑΚ)...»
«Αυτό, το είπαμε», έκαμε ο “μικρός” ανυπόμονα.
«Ώσπου να ευρεθεί όμως, επί του επιπέδου (ΔΑΚ), εστρέφετο, περί ενός σημείου, Μ, που είναι το καρφί διά του οποίου την είχες καρφώσει επί του πασσάλου. – Ή, μήπως, όχι;»
«Ναι...»
«Και όμως, «όχι»: Διότι το καρφί δεν ήταν καρφωμένο επί της (τ) αλλά εις το εσωτερικό (του παραλληλογράμμου) της τάβλας τ...»
«Μπορώ», απήντησε αμέσως, «να κάνω, το Μ, να είναι επάνω στην (τ)...» και, αμέσως, το σχεδίασε:
202α εικών:
Με την βοήθεια ενός προσθέτου στοιχείου το καρφί, Μ,
μπορεί να καρφωθεί κατά τρόπον ώστε ο άξων του
να κείται επί της έδρας της τάβλας τ.
«Όταν η (τ) θα ευρεθεί κειμένη επί της ΔΑΚ, το σταθερό σημείο Μ, θα εξακολουθεί να κείται επί της (τ) – έτσι δεν είναι;»
«Μάλιστα.»
«Και επειδή, η (τ) θα κείται επί του επιπέδου της ΔΑΚ, επί του αυτού επιπέδου, κείται και το Μ – ορθώς;»
«Ορθώς.»
Και τώρα, σε ερωτώ:
Ο “μικρός”, περίμενε κάποια δυσκολότερη ερώτηση αλλά, δεν φανταζόταν πόσο δύσκολη θα ήταν η απάντηση:
«Πώς τα κατάφερες και τοποθέτησες, το σημείο Μ (το καρφί), επί του επιπέδου της έδρας ΔΑΚ, της πυραμίδος;»
«Μα, αφού σου είπα, ότι το καρφί, το έβαλα χαμηλά-χαμηλά... σχεδόν στο έδαφος: Επάνω στην περασιά ΔΑ...»
«Αυτό που λες, προϋποθέτει ότι, το έδαφος είναι ένα οριζόντιο, “μαθηματικό” επίπεδο; Έχεις δε ισχυρισθεί ότι, αυτό, δεν συμβαίνει;»
Ησθάνθη “στριμωγμένος”, πράγμα που επέτεινα, προκλητικώς:
«Φίλε μου, “την πάτησες”...: Τί την ήθελες την «μαθηματική ακρίβεια»; Δεν γνωρίζεις ότι ...τα μεταξωτά βρακιά θέλουν κι΄ επιδέξιους γλουτούς; Άντε τώρα στη δουλειά σου... και να το σκεφθείς στο σπίτι σου... Και, άάάμα το βρεις, τα ξαναλέμε...:»
Θύμωσε (όπερ και επεδίωκα).
«Μάστορα... μη μου “κολλάς”... γιατί, ξέρεις τι “πατεντιάρης” που είμαι...»
«Στη δουλειά σου, είπα...»
Όταν ο “μικρός” απομακρύνθηκε, η φίλη με επέπληξε:
«Ήσουν άδικος...» (και τα τοιαύτα).
«Αυτός, όταν “στριμώχνεται”, διά να “ξεστριμωχθεί”, πρέπει να τον “στριμώξεις” περισσότερο», απεφθέγχθην και... επαληθεύθην:
«Πάλι, εδώ, εσύ;»
Δεν έδωσε σημασία και άρχισε να ...“διηγείται”:
«Πρωΐ-πρωΐ, με την δροσούλα, ο Θαλής ξεκινάει για την πυραμίδα. Κουβαλάει, μαζί του, ένα λυόμενο τραπεζάκι, ένα σκαμνί, ένα θερμός με καφέ, ένα φλυτζάνι και, αυτό, το... “μηχάνημα”, που θα σας δείξω, τώρα, και που το έχει φτιάξει από το βράδυ...»
Μας έδειξε κάτι που θα το αναπαραστήσω όσο καλλίτερα μπορώ (εις την εικόνα παραπλεύρως) και συνέχισε την “διήγηση”:
«Λοιπόν, στήνει το τραπέζι σε ένα σημείο τέτοιο ώστε, όταν στερεώσει επάνω σε αυτό το “μηχάνημά” του και κοιτάζει το σημείο στροφής της “τάβλας”, αυτό το σημείο, και το μάτι του να είναι επάνω στην έδρα ΔΑΚ, της πυραμίδας – που την βλέπει σαν την ακμή ΑΚ.»
Κόμπιασε λίγο και συνέχισε:
«Α, το τραπέζι είναι αλφαδιασμένο (...άρα, είχε μαζί του και αλφάδι – πως το ξέχασα;), δηλαδή, τα “καντρόνια”, είναι κατακόρυφα και η βάση του μηχανήματος είναι στην απέναντι (προς αυτόν) πλευρά του τραπεζιού και κάθετη προς την περασιά ΔΑ,...
Μόλις ο Θαλής, ήπιε τον καφέ του, κρέμασε το φλιτζάνι επάνω στην τάβλα τ, για να βαραίνει και, με το κορδονάκι που είχε δέσει, την τραβούσε, να ανεβαίνει, περιστρεφομένη περί ένα σταθερό σημείο Λ.... κείμενο επί του επιπέδου της ΔΑΚ. Η τάβλα δεν “έκανε μέσα-έξω” γιατί ήταν – όπως βλέπετε – “κλειδωμένη” ανάμεσα στα τρία καδρόνια...»
Μόλις είδε, την (τ) να “γλύφει” την έδρα ΔΑΚ, δηλαδή, να φαίνεται ταυτισμένη με την ακμή ΑΚ, έδεσε το κορδόνι σε ένα καρφί, που ήταν στο τραπέζι (από την δική του μεριά). Ε, τότε, η γωνία που σχηματίζει η τάβλα με τα καδρόνια, είναι συμπληρωματική της γωνίας που σχηματίζει η έδρα, ΔΑΚ, της πυραμίδας με το οριζόντιο επίπεδο.»
203η εικών:
“Μηχάνημα” διά την εύρεση της κλίσεως
της έδρας της πυραμίδος:
Η ορατή πλευρά του τραπεζιού είναι κάθετη
προς την έδρα ΔΑΚ ενώ το σημείο περιστροφής
της τάβλας Τ, το Λ, κείται επί της ΔΑΚ.
Όταν η Τ, στρεφομένη έλθει εις θέση τέτοια ώστε,
η κάτω έδρα της να κείται επί του επιπέδου της ΔΑΚ,
τότε, η γωνία που θα σχηματίζει μετά του καδρονίου
θα είναι η συμπληρωματική της γωνίας που
σχηματίζει η ΔΑΚ μετά του οριζονίου επιπέδου.
«Πολύ καλά, όλα αυτά, που σκέφτηκες...», τον διέκοψα: «Μόνο που, είναι λύση σε ένα άλλο πρόβλημα...»
Πήρε το πιο απορημένο ύφος. Εγώ συνέχισα:
«Ευρήκες με τον ευκολότερο τρόπο και την μεγαλύτερη ακρίβεια την κλίση της έδρας ΔΑΚ της πυραμίδος...»
«Μάλιστα», έκαμε.
«Αυτό όμως, ζητούσες;»
Είπε, με τη σειρά, τα εξής:
«Α, τον βλάκα...», «Όχι...», «Ζητούσαμε την κλίση της ακμής ΑΚ...», «Όχι: πάλι βλακεία είπα...», «Ζητούσαμε την γωνία που σχηματίζει με την πλευρά ΑΒ της βάσης...», «Ε, είμαι μεγάλος βλάξ.»
Χρησιμοποιεί το «έξυπνος» και το «βλάκας» ως αξιολογικούς χαρακτηρισμούς διά τον εαυτό του... και δη, άνευ ενδιαμέσων...
«Μη “χτυπιέσαι”», του έκαμα. «Εάν ξέραμε αυτό, το τωρινό, η κατασκευή του τριγώνου ΜδΜβΚ, που είναι η τομή της πυραμίδος με το μεσοκάθετο επίπεδο των πλευρών ΔΑ και ΒΓ της βάσεώς της, θα ήταν απλουστάτη – πράγμα που καθιστά, αυτήν την λύση, την πιθανότερη. Διότι δεν απαιτεί τις περίπλοκες κατασκευές που κάναμε για να βρούμε την κλίση των εδρών της πυραμίδος... Καλά που δεν τά είπαμε και πάρα έξω διότι θα είχαμε ...συκοφαντήσει και τον Θαλή...»
«Ναι αλλά, η βλακεία, βλακεία...», είπε στεγνά. «Καλά μου είπες να το κοιτάξω στο σπίτι...»
Τώρα, σου λέω, να το μελετήσεις, εδώ... και να κοιτάξεις εάν, η «βλακεία», διορθώνεται... ή, αν συμπληρώνεται... Αλλοιώς, θα μείνεις με την ...παρηγοριά, ότι διέπραξες μία “χρήσιμη «βλακεία»”.»
Τόσον εγώ, όσο και η φίλη, καθηγήτρια γνωρίζαμε το τι έπρεπε να κάμει (πλην, εκείνη, δεν εγνώριζε το πώς). Δεν διενοηθήκαμε όμως να του το υποδείξουμε και μάλιστα διά τον αυτόν λόγο:
«Πρέπει», είπα, «να ξελασπώσει μόνος του... Ειδεμή...»
«...θα του μείνει ...“ψυχικό τραύμα”...», συνεπλήρωσε η φίλη μου (όχι και πολύ ειρωνικώς).
...
Εντός ολίγου, είχε φέρει την κατασκευή (μακέττα) που απεικονίζεται, και μας έδωσε τις εξηγήσεις που την συνοδεύουν:
204η εικών:
Οι γαλάζιες τάβλες έχουν κλίση ως προς την πλάκα,
αυτήν που βρήκαμε, προηγουμένως (με το “μηχάνημα”).
Το κόκκινο τετράγωνο που σχηματίζουν οι παράλληλες ευθείες
είναι ίσο με την διατομή του καδρονίου.
Το ράμμα είναι δεμένο στο καρφί Κ (άνω μέρος του καδρονίου)
και τείνεται κάτωθεν της πλάκας διερχόμενο διά της οπής Α.
Αυτό, σχηματίζει μετά της ΑΒ΄ (ή, της ΑΔ΄) την ζητουμένη γωνία.
Διευκρίνιση: Το ΑΚ παριστάνει την ακμή της πυραμίδος και
το ΑΒ΄ (ή, το ΑΔ΄) την πλευρά ΑΒ (ΑΔ) της βάσης της.
«Καλέ, αυτός κατασκεύασε μία τρίεδρο γωνία, την Α,Β΄ΚΔ΄, από τις δίεδρές της και βρήκε της εδρική της, την ΚΑΒ΄.... –Τώρα,... φταίει ο Πλάτωνας, να πει ότι, όλα αυτά, τα γνωρίζει η ψυχή του από τότε που ήταν στον κόσμο των ιδεών;»
Ενώ γελούσαμε, ο “μικρός”, συνεπέρανε (δήθεν, ψύχραιμα):
«Μετά την επίτευξη της μαθηματικής ακρίβειας, μπορούμε να πούμε ότι, ο Θαλής, σχεδίασε (υπό κλίμακα και με μαστοριά) το ανάπτυγμα της πυραμίδας και έπειτα να την κατασκευάσει. Κατόπιν, μπορεί, επάνω σε αυτήν, να μετρήσει (πάλι με ακρίβεια) όλα τα μεγέθη που του χρειάζονται για να βρει και το ύψος της.»
Παρενέβην κατά τρόπον που να απαιτεί ...την δημιουργία ενός νέου κεφαλαίου:
No comments:
Post a Comment