26. Σχεδιαστικαί συμβάσεις – συμβολισμοί. [Μέρος ΙV, Κεφ. 26 (24/12/13)]

Μετάβαση εις τα σχόλια:
Αρχικό...
Τελικό...

ΜΕΡΟΣ ΤΕΤΑΡΤΟ.

Λύσεις άνευ χρήσεως της σκιάς.

*  *  *

26. Σχεδιαστικαί συμβάσεις – συμβολισμοί.

        Συμφώνως προς αυτά που αναφέρονται εις το τέλος του προηγουμένου μέρος, προβλέπεται, εκτός της “επιστημονικής” προετοιμασίας του γράφοντος και κάποια επιστημονικού είδους παρουσίαση των γραφομένων. Μεταξύ των γραφομένων είναι και οι ποικίλες περιγραφές των σχημάτων και των λοιπών αντικειμένων, άρα, και οι σχεδιάσεις ή, οι αναπαραστάσεις τους.
        Ανακύπτει, λοιπόν, το θέμα του (ελλόγου) συμβολισμού όλων αυτών, ώστε να γίνονται ευκόλως κατανοητές:

        Σημείωση:
        Ο χρησιμοποιούμενος συμβολισμός εις τις διάφορες σχεδιάσεις είναι ένα πολύ σημαντικό θέμα το οποίο, βεβαίως, δεν πρόκειται να εξαντλήσουμε, εδώ: Θα πούμε, μόνον, όσα χρειάζονται για τις σχεδιάσεις που θα παρουσιάσουμε:

        Μικρή (ελλιπής) εισαγωγή.
        Τα σύμβολα μας διευκολύνουν εις την αναγνώριση των συμβολιζομένων εις τα οποία αντιστοιχούν. Εάν όμως, η αντιστοίχιση, δεν είναι γνωστή, μετατρέπεται εις ...γρίφον. Π.χ., ο συμβολισμός: «Μ_ΑΒ, Μ_ΒΓ, Μ_ΓΔ, Μ_ΔΑ» ή, «Μ_α, Μ_β, Μ_γ, Μ_δ»,  διά τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ, αντιστοίχως, ενός τετραπλεύρου, διευκολύνει κατά πολύ συγκρινόμενος με τον συμβολισμό (π.χ.) «Ε, Ζ, Η, Θ». Αλλά, πρέπει να έχει προηγηθεί μία συνεννόηση, μία σύμβαση, όπως η ακόλουθη:
        «Μ, με δείκτη _XΨ», δηλαδή: «Μ_ΧΨ» ή, «Μ με δείκτη _x», δηλαδή: «Μ_x», σημαίνει: «Μέσον πλευράς ΧΨ.»
        Δηλαδή, συμβολίζουμε εκάστη πλευρά είτε διά των άκρων της ή,  με το πεζό του γράμματος που συμβολίζει το αρχικό της σημείο.
        Ενίοτε ένα συμβολιζόμενο σημείο, έστω το Η, έχει μία ιδιότητα εξαρτωμένη από ένα άλλο, το Α: Π.χ., το Η είναι η προβολή του Α επί μίας ευθείας (ε) ή, επί ενός επιπέδου (Π), ήτοι, είναι ο πους τής, διά του Α, καθέτου επί την (ε) ή επί το (Π). Τότε, μπορούμε να χρησιμο-ποιήσουμε το σύμβολο «Η_Αε» ή, «Η_ΑΠ» εννοώντας ότι είναι: «η προβολή του σημείου Α επί την  ευθεία (ε) ή, επί το επίπεδο (Π)».
        Εάν η (ε) ή, το (Π) είναι μοναδικά – όπως, π.χ. η πλευρά α, ενός τριγώνου (απέναντι της κορυφής Α), περιττεύουν οι δύο δείκτες: «_Αα», οπότε, μπορούμε να γράψουμε: «Η_Α» ή, όπως συνηθίζεται: «Η_α».

        Σημείωση:
        Ειδικώς, εις ένα τρίγωνο – έστω το ΑΒΓ – ως πλευρά «α», δεν συμβολίζουμε εκείνη της οποίας το αρχικό σημείο είναι το Α (και, το τελικό, το Β) αλλ΄, εκείνη που είναι απέναντι από το Α.

        Εάν η (ε) ή, το (Π) είναι μοναδικά αλλ΄, οι προβολές σημείων, Α, Β, Γ κτλ, επ΄ αυτών είναι πολλές, τότε, είναι προτιμότερος ο συμβολισμός: «Η_Α, Η_Β, Η_Γ, κτλ». Π.χ., οι προβολές πολλών σημείων επί ενός (επιπέδου) εδάφους, όπως θα δούμε, κατ΄ επανάληψιν.
        Ενίοτε, αντί της διαδοχής Α, Β, Γ, κτλ (π.χ. διά τις κορυφές ενός πολυγώνου) χρησιμοποιούμε την διαδοχή Α₁ (ή, Β₁ ή, Κ₁ κτλ), Α₂, Α₃, κτλ, και τους συνεπαγομένους περαιτέρω συμβολισμούς, όπως, π.χ.:
        Τρίγωνο Α₁Α₂Α₃.
        Πλευρές Α₂Α₃, Α₃Α₁, Α₁Α₂ ή, α₁, α₂, α₃, αντιστοίχως (απέναντι από τις κορυφές Α₁, Α₂, Α₃, αντιστοίχως).
        Μέσα των α₁, α₂, α₃: Μ₁, Μ₂, Μ₃, αντιστοίχως.
        Πόδες των διά των Α₁, Α₂, Α₃, καθέτων επί τας α₁, α₂, α₃: Η₁, Η₂, Η₃, αντιστοίχως.
        Τομές των  α₁, α₂, α₃, μετά των διχοτόμων, δ₁, δ₂, δ₃, των γωνιών Α₁, Α₂, Α₃, αντιστοίχως:  Δ₁, Δ₂, Δ₃.
        Τα σύμβολα που χρησιμοποιούμε, συνήθως, δεν είναι τυχαία:
        Π.χ., συμβολίζουμε διά του «Μ», το Μέσον, εκ του αρχικού του  γράμματος. Το αυτό και διά το «Δ» («Διχοτόμος»). Το «Η», (κεφαλαίο του «h»), είναι το αρχικό της λέξεως: «ύψος», σε κάποιες γλώσσες (π.χ., γαλλικά, αγγλικά).
        Ως προς την διευκόλυνση που μας παρέχουν οι συμβολισμοί, θα αναφέρουμε, ως παράδειγμα, δύο ζεύγη διατυπώσεων.
        Οι πρώτες διατυπώσεις εκάστου ζεύγους, απαιτούν “προσφυγή” εις το σχήμα ενώ, οι δεύτερες όχι. Θα μπορούσαμε δε να πούμε ότι, οι δεύτερες διατυπώσεις, δεν απαιτούν καν σχήμα:
        1ον ζεύγος (αποδεικτική πρόταση):
        «Τα μέσα Ε, Ζ, Η, Θ των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ, αντιστοίχως, παντός τετραπλεύρου ΑΒΓΔ, είναι κορυφές παραλληλογράμμου ΕΖΗΘ.»
        «Τα μέσα Μ₁, Μ₂, Μ₃, Μ₄, των πλευρών α₁, α₂, α₃, α₄, αντιστοίχως, παντός τετραπλεύρου Α₁Α₂Α₃Α₄, είναι κορυφές παραλληλογράμμου Μ₁Μ₂Μ₃Μ₄.»
        2ον ζεύγος (απόδειξη):
        «Οι ΕΖ, ΗΘ είναι παράλληλες και ίσες προς ΑΓ/2 διότι ορίζονται από τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ και των ΓΔ και ΔΑ, των πλευρών των τριγώνων ΑΒΓ και ΓΔΑ, αντιστοίχως.»
        «Οι Μ₁Μ₂, Μ₃Μ₄ είναι παράλληλες και ίσες προς της Α₁Α₃/2 διότι ορίζονται από τα μέσα των Α₁Α₂, Α₂Α₃ και Α₃Α₄, Α₄Α₁,των πλευρών των τριγώνων Α₁Α₂Α₂ και Α₃Α₄Α₁, αντιστοίχως.»

145η εικών:
Το αυτό σχήμα με δύο διαφορετικούς συμβολισμούς:
Δεξιά: Με γράμματα, κατά τυχαίαν(;) επιλογήν.
Αριστερά: Με δείκτες, κατά κάποια (συμπεφωνημένη) λογική.

        Σημείωση – παρατήρηση:
        Εις τα Στοιχεία του Ευκλείδου, τα γράμματα εμφανίζονται κατά αλφαβητικήν σειράν, χωρίς δείκτες και κατ΄ αντιστοιχίαν προς την σειρά εμφανίσεως των συμβολιζομένων σημείων εις την αποδεικτική διαδικασία. Αλλά, θα πρέπει να λάβουμε υπ΄ όψιν ότι, τότε, τα γράμματα, χρησιμοποιούντο και ως αριθμοί. Αυτός, λοιπόν, ο συμβολισμός, δηλωτικός του “χρονικού” της εν λόγω διαδικασίας, την καθιστούσε περισσότερο κατανοητή, και, αντιστρόφως, αυτός καθίστατο εύλογος.
        ...
        Κατόπιν αυτής της μικρής εισαγωγής μπορούμε θα προβούμε εις την παρουσίαση των σχεδιαστικών συμβάσεων τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε, εδώ:

        Ευθείες, επίπεδα, υλικά αντικείμενα.
        Ευθείες: Συμβολίζονται με το αρχικό και τελικό γράμμα κεφαλαία (π.χ.:) ΑΒ ή, με πεζά εντός παρενθέσεως (π.χ.:) (ε).
        Επίπεδα: Συμβολίζονται με  κεφαλαία εντός παρενθέσεως (π.χ.:) (Π), ή περιφραστικώς (π.χ.): το επίπεδο της έδρας ΚΑΒ ή, συμβολικώς (π.χ.:) το (ΚΑΒ).
        Αντικείμενα: Θα αναφέρουμε δύο ενδεικτικά παραδείγματα:
        1ον: Ας δεχθούμε ότι ένα τεταμένο “ράμμα” ορίζει μία ευθεία.
        Τότε, μπορούμε να συμβολίστουμε, το “ράμμα” με «ρ» (ή/και με άλλο γράμμα) και την ευθεία που ορίζει με «(ρ)»
        2ον: Ας δεχθούμε, επίσης. ότι ένας κατακόρυφος πάσσαλος, μπορεί να θεωρηθεί ως τετραγωνικό πρίσμα. Και ας υποθέσουμε ότι, εξ ενός σημείου μίας των επιμήκων ακμών του, στοχεύουμε την πυραμίδα. Τότε, μπορούμε να δεχθούμε τους εξής συμβολισμούς:
        σ: Ο πάσσαλος.
        (σ): Η ευθεία που ορίζει η εν λόγω ακμή.
        Σ: Το σημείο στόχευσης.
        Η_Σ: Η προβολή του Σ επί του εδάφους. Και:
        Τ_σ: Ένα σημείο της (σ) ισοϋψές ενός σημείου Τ.

        Εις το σχήμα που ακολουθεί φαίνονται όλα τα προηγούμενα, τόσο διά τον πάσσαλο σ όσο και διά το ύψος υ, της πυραμίδος (ο πούς του ύψους της, υ, δεν συμβολίζεται διά του «Η_κ» αλλά, απλώς, διά του «Η»):

146η εικών:
Ληφθείσα εκ το υ κεφαλαίου (του παρόντος μέρους του βιβλίου),
υπό τον τίτλο: «Η λύσις διά δύο στοχεύσεων.» (εις το τέλος του).

        Πυραμίς:
        Κατ΄ αρχάς, οι απεικονίσεις της πυραμίδος (εννοείται: του Χέοπος, αυτής της οποίας το ύψος υπελόγισε ο Θαλής) θα γίνουν κατά τρόπον ώστε να διατηρούνται οι αναλογίες της. (Δηλαδή, όχι, π.χ., όπως εις τις εικόνες του κεφαλαίου υπό τον τίτλο: «18. Η λύσις διά της “άρσεως” της πυραμίδος.», του Τρίτου Μέρους του βιβλίου.)
        Επομένως, οι αναγνώστες, θα μπορούν να χρησιμοποιήσουν οποιοδήποτε σχήμα θέλουν, όντες βέβαιοι δια την ορθή απεικόνισή του (εκτός και αν διά κάποιους λόγους, θα είναι εσφαλμένη, όπερ θα δηλώνεται). Επιπροσθέτως, θα παρασχεθούν (βλέπε επόμενο σχήμα) οι διαστάσεις των στοιχείων της πυραμίδος ώστε να μπορούν να κάμουν τις δικές τους απεικονίσεις. (Πρβλ προς το κεφάλαιο υπό τον τίτλο: «9. Υποχρεωτική και “προαιρετική”, ξυλουργική και μαθηματική ακρίβεια των σχημάτων.», εικόνες: 71η και 73η.)

        Η κορυφή της πυραμίδος: Κ.
        Η βάσις της: ΑΒΓΔ.
        Οι πλευρές της βάσεώς της: ΑΒ = α, ΒΓ = β, ΓΔ = γ, ΔΑ = δ.
        Το ύψος της και ο πους του: υ και Η, αντιστοίχως.
        Οι πόδες των, διά του Κ, υψών των τριγώνων ΚΑΒ, ΚΒΓ, ΚΓΔ, ΚΔΑ επί των α, β, γ, δ, αντιστοίχως: Η_α, Η_β, Η_γ, Η_δ, αντιστοίχως.
        Τα μέσα των α, β, γ, δ: Μ_α, Μ_β, Μ_γ, Μ_δ, αντιστοίχως.

147η εικών:
Ο σχεδιαστικός συμβολισμός της πυραμίδος
και οι διαστάσεις της τοιαύτης του Χέποπος.

Συνεχίζεται, εδώ...