Μετάβαση εις τα σχόλια:
12. Το καταπλακωμένο τετράγωνο.
Πήρα το ευγενέστερο από τα ύφη που διαθέτω και είπα:
«Αγαπητή κυρία, προτού να απολογηθώ διά τον τρόπον με τον οποίο εκφράστηκα προηγουμένως, παρακαλώ, εάν μπορείτε και θέλετε, πείτε μου το εξής:...»
Άφησα το προηγούμενο ύφος, πήρα ένα πιο “απαιτητικό” και συνέχισα:
«Διά τί, ο Θαλής, θα έπρεπε να περιμένει αυτήν ...την “ευλογημένη” στιγμή, όπου οι ακτίνες του ηλίου θα προσπίπτουν με αυτόν τον τρόπο, διά να κάμει την μέτρηση του ύψους της πυραμίδος;
Και, κάθε πότε έρχεται αυτή η στιγμή;... Αν έρχεται δηλαδή, κάποτε, ...διότι, εγώ νομίζω πως, ποτέ, οι ηλιακές ακτίνες, δεν θα λάβουν την συγκεκριμένη κατεύθυνση που περιγράφετε...»
«Συμβαίνει δύο φορές τον χρόνο», μου απήντησε: «Δύο ημέρες κάθε χρόνο, το μεσημέρι, οι ηλιακές ακτίνες πέφτουν υπό γωνία 45 μοιρών ως προς το επίπεδο του εδάφους...»
«Ούτε ένα λεπτό της μοίρας λιγότερο ή, περισσότερο;»
«Με ειρωνεύεστε;»
«Είμαι υποχρεωμένος, να το πράξω... Διότι από το μεσημέρι της μίας ημέρας μέχρι το μεσημέρι της άλλης η γωνία πρόσπτωσης των ηλιακών ακτίνων μπορεί να αλλάζει... κατά πολύ... ίσως και κατά μισή μοίρα... Αλλά και κατά 1/4 της μοίρας να αλλάζει, πως μπορούμε να υποθέσουμε ότι όλες αυτές οι μη ακέραιες αλλαγές, προστιθέμενες, μας δίδουν ένα ...ολοστρόγγυλο: «45 μοίρες» (δηλαδή, ακέραιο);»
Εδώ, ενεθυμήθην και κάτι που ήθελα να της πω προ πολλού:
«Και σας παρακαλώ, ας μη λέμε «45 μοίρες» αλλά, «μισή ορθή»...»
«Γιατί, αυτό», έκαμε πλήρης αθωότητος.
«Όπως σας είπα, δεν δικαιούμαι να χρησιμοποιώ πράγματα των οποίων την ύπαρξη δεν μπορώ να αποδείξω...
Την μοίρα, δεν γνωρίζω πως να την κατασκευάσω.»
«Μα, τί μου λέτε τώρα; Την μοίρα, την χρησιμοποιεί όλος ο κόσμος...»
Απήντησα με έπαρση:
«Εγώ, διά να πράξω το ορθό, δεν θέλω και ...παρέα... Ή, μάλλον, δεν είμαι υποχρεωμένος να κάνω παρέα με αυτούς που σφάλλουν, ...μόνο και μόνο, επειδή είναι πολλοί.»
«Όλοι, εμείς, σφάλουμε; Μήπως δηλαδή, έχουμε συνωμοτήσει;» Αυτό, το είπε ειρωνικώς.
Απήντησα υβριστικώς πλην ...ενδομύχως:
«Η κοινή βλακεία υποκαθιστά την συνωμοσία...»
Συνέχισα μεγαλοφώνως και ...αρχαιοπρεπώς:
«Έστι ουν μαθηματικός τις, αγνοών ότι το μεν δεκάγωνον ποιείται το δε εννεάγωνον, ου;»
Σχεδίασα δύο σχήματα πιο κακότεχνα από τα ακόλουθα και διετύπωσα την ερώτηση που τα συνοδεύει:
93η εικών:
Εάν ...υπάρχει η “μοίρα”, τότε,
διά τί δεν κατασκευάζεται το κανονικό 9-γωνο;
(Δοθέντος ότι, το κανονικό 10-γωνο, κατασκευάζεται.)
Σχεδίασα ένα ακόμη σχήμα (επίσης πιο κακότεχνο από αυτό που ακολουθεί) και έδωσα τις (όχι και πολύ αυστηρές) εξηγήσεις που το συνοδεύουν:
Εάν ...υπάρχει η “μοίρα”, τότε,
διά τί δεν κατασκευάζεται το κανονικό 9-γωνο;
(Δοθέντος ότι, το κανονικό 10-γωνο, κατασκευάζεται.)
Σχεδίασα ένα ακόμη σχήμα (επίσης πιο κακότεχνο από αυτό που ακολουθεί) και έδωσα τις (όχι και πολύ αυστηρές) εξηγήσεις που το συνοδεύουν:
94η εικών:
Το “μαύρο” πολύγωνο είναι ένα κανονικό 10-γωνο (κατασκευάσιμο).
Το “κόκκινο” πολύγωνο είναι ένα κανονικό 9-γωνο (ακατασεύαστο).
Οι “πράσινες” γωνίες είναι 2 “μοιρών”.
Κατόπιν, “εξεφώνησα” (χωρίς διακοπή) τον λόγο που ακολουθεί:
«Αλλ΄, εάν, αγαπητή μου, δεν κατασκευάζεται το κανονικό 9-γωνο, πώς κατασκευάζεται η “μοίρα”;
–Δηλαδή, πώς είναι δυνατόν να υπάρχει αυτή, η “μοίρα” και να μην λαμβάνουμε το 4-πλάσιό της, να το προσθέτουμε εις την γωνία των 36 “μοιρών” (360/10) και να λάβουμε την γωνία των 40 “μοιρών” (360/9);
Εξακολουθώ:»
Ξερόβηξα και συνέχισα:
«Και είναι δυνατόν να μην έχει κάμει αυτόν, τον απλό συλλογισμό, ουδείς εξ εκείνων που γράφουν ή, διδάσκουν τα σχετικά βιβλία, “θεωρητικής” γεωμετρίας;
Βεβαίως, κάποιος “συγγραφεύς”, ενδέχεται να επικαλεστεί την πνευματική δυσκολία των αναγνωστών του (ή, και την δική του):
«Δεν μπορώ», θα πει, «να λέω ότι η γωνία του ισοπλεύρου τριγώνου είναι «2/3 της ορθής» ούτε «π/3»...
–Όταν λέω «60 μοίρες», μου φαίνεται πιο εύκολο...»
Θα πρέπει όμως να προσέχει ώστε, οι γωνίες που χρησιμοποιεί, να έχουν τέτοιο πλήθος “μοιρών” που, όντως, να κατασκευάζονται:
Π.χ. Εάν πει:
«Δίδεται γωνία 12 μοιρών», είναι μεν ανόητο (διότι η “μοίρα” δεν υπάρχει) αλλά, δεν είναι ανέφικτο ή/και ψευδές (διότι η γωνία των 12 “μοιρών” υπάρχει. Εάν όμως, πει «δίδεται γωνία 11 “μοιρών”» ή, «...13» ..., τότε, ψεύδεται. Ε, εις τα βιβλία που κυκλοφορούν – και, δη, τα σχολικά, υπάρχουν πολλές, τέτοιες, “ψευδείς” γωνίες...
Και να σκεφθεί κανείς ότι το μόνο που εξετάζεται εις τα μαθηματικά είναι η αλήθεια των προτάσεων τους...»
Κατόπιν αυτής της ...“εισηγήσεως” κατέληξα:
«Κι΄ εσείς μου λέτε πως: «κανείς δεν νοιάζεται για το πως ...κατασκευάζεται» αυτή, η “περίφημη” μοίρα; – Εσείς, δηλαδή, προσπαθήσατε να κατασκευάσετε μία μοίρα;»
Αυτό, το είπε προκλητικώς.
«Βεβαίως...»
«Και, που καταλήξατε;» Αυτό, το είπε ειρωνικώς και, τοιουτοτρόπως, κατέστησε δικαιολογημένη μία εξ ίσου ειρωνική απάντηση, προετοιμασμένη από καιρό:
«Κατέληξα σε ένα ομοιοκατάληκτο...»
«Αλήθεια; Μπορώ να το ακούσω;»
Απήγγειλα με “σεμνότητα”:
«“Γεωμέτραι” διαιρούντες το 3ο δια του 3...
Ε, τ΄ αναγνώσαμε κι΄ αυτό
(Ήταν της μοίρας μας γραφτό):
«Μονάδα μέτρησης γωνιών: η “μοίρα”»
Τι φταις κι΄ εσύ, βρε Γεωμετρία, κακομοίρα
Εάν δοκησιγραφείς τινες, μεσ΄ την “μαστούρα” τους,
Διαιρούν, την περιφέρεια του κύκλου, με την μεζούρα τους;
Ίσως, απ΄ το πολύ μεθύσι,
Φαντάζονται πως ηύραν λύση
Και, ότι μία, εκ των πολλών,
Γωνία, (των “τριών μοιρών”)
Έχουν τριχοτομήσει.
Εάν δε έχουν νομίσει,
Πως το επέτυχαν με τον κανόνα και τον διαβήτη τους,
Ε, τότε πια θα πρέπει, να μη βλέπουν ούτε τη μύτη τους.»
...
Δεν ξέρω εάν ήταν “μεγαλόψυχη” ή, απλώς, επέδειξε “ψυχραιμία”. Πάντως απήντησε ως εξής:
«Καταλήξατε, δηλαδή, εις το ότι, για να κατασκευαστεί η γωνία της μίας μοίρας, θα πρέπει να τριχοτομηθεί η γωνία των τριών μοιρών... – πράγμα, ως γνωστόν, αδύνατον»
«Μάλιστα.»
«Και, πώς καταλήξατε εις αυτό;»
«Χμμμ... Το ότι είναι αδύνατη η τριχοτόμηση τυχούσης γωνίας (εκτός της ορθής), το είχα μάθει όταν ήμουν μαθητής.»
«Όχι, όχι: –Στη γωνία των τριών μοιρών, πώς φθάσατε;»
«Ε, είναι πολύ απλό:
Αφού γνωρίζω να διαιρώ τον κύκλο διά του 5 και διά του 6, γνωρίζω και την γωνία του ενός πέμπτου αυτού μείον το ένα έκτο του... Αυτό, που, εσείς, θα λέγατε: «(72 – 60) μοίρες».
Λοιπόν, έχουμε 72 – 60 = 12.»
Σχεδίασα (κακοτέχνως) το σχετικό σχήμα και σιώπησα:
Το “μαύρο” πολύγωνο είναι ένα κανονικό 10-γωνο (κατασκευάσιμο).
Το “κόκκινο” πολύγωνο είναι ένα κανονικό 9-γωνο (ακατασεύαστο).
Οι “πράσινες” γωνίες είναι 2 “μοιρών”.
Κατόπιν, “εξεφώνησα” (χωρίς διακοπή) τον λόγο που ακολουθεί:
«Αλλ΄, εάν, αγαπητή μου, δεν κατασκευάζεται το κανονικό 9-γωνο, πώς κατασκευάζεται η “μοίρα”;
–Δηλαδή, πώς είναι δυνατόν να υπάρχει αυτή, η “μοίρα” και να μην λαμβάνουμε το 4-πλάσιό της, να το προσθέτουμε εις την γωνία των 36 “μοιρών” (360/10) και να λάβουμε την γωνία των 40 “μοιρών” (360/9);
Εξακολουθώ:»
Ξερόβηξα και συνέχισα:
«Και είναι δυνατόν να μην έχει κάμει αυτόν, τον απλό συλλογισμό, ουδείς εξ εκείνων που γράφουν ή, διδάσκουν τα σχετικά βιβλία, “θεωρητικής” γεωμετρίας;
Βεβαίως, κάποιος “συγγραφεύς”, ενδέχεται να επικαλεστεί την πνευματική δυσκολία των αναγνωστών του (ή, και την δική του):
«Δεν μπορώ», θα πει, «να λέω ότι η γωνία του ισοπλεύρου τριγώνου είναι «2/3 της ορθής» ούτε «π/3»...
–Όταν λέω «60 μοίρες», μου φαίνεται πιο εύκολο...»
Θα πρέπει όμως να προσέχει ώστε, οι γωνίες που χρησιμοποιεί, να έχουν τέτοιο πλήθος “μοιρών” που, όντως, να κατασκευάζονται:
Π.χ. Εάν πει:
«Δίδεται γωνία 12 μοιρών», είναι μεν ανόητο (διότι η “μοίρα” δεν υπάρχει) αλλά, δεν είναι ανέφικτο ή/και ψευδές (διότι η γωνία των 12 “μοιρών” υπάρχει. Εάν όμως, πει «δίδεται γωνία 11 “μοιρών”» ή, «...13» ..., τότε, ψεύδεται. Ε, εις τα βιβλία που κυκλοφορούν – και, δη, τα σχολικά, υπάρχουν πολλές, τέτοιες, “ψευδείς” γωνίες...
Και να σκεφθεί κανείς ότι το μόνο που εξετάζεται εις τα μαθηματικά είναι η αλήθεια των προτάσεων τους...»
Κατόπιν αυτής της ...“εισηγήσεως” κατέληξα:
«Κι΄ εσείς μου λέτε πως: «κανείς δεν νοιάζεται για το πως ...κατασκευάζεται» αυτή, η “περίφημη” μοίρα; – Εσείς, δηλαδή, προσπαθήσατε να κατασκευάσετε μία μοίρα;»
Αυτό, το είπε προκλητικώς.
«Βεβαίως...»
«Και, που καταλήξατε;» Αυτό, το είπε ειρωνικώς και, τοιουτοτρόπως, κατέστησε δικαιολογημένη μία εξ ίσου ειρωνική απάντηση, προετοιμασμένη από καιρό:
«Κατέληξα σε ένα ομοιοκατάληκτο...»
«Αλήθεια; Μπορώ να το ακούσω;»
Απήγγειλα με “σεμνότητα”:
«“Γεωμέτραι” διαιρούντες το 3ο δια του 3...
Ε, τ΄ αναγνώσαμε κι΄ αυτό
(Ήταν της μοίρας μας γραφτό):
«Μονάδα μέτρησης γωνιών: η “μοίρα”»
Τι φταις κι΄ εσύ, βρε Γεωμετρία, κακομοίρα
Εάν δοκησιγραφείς τινες, μεσ΄ την “μαστούρα” τους,
Διαιρούν, την περιφέρεια του κύκλου, με την μεζούρα τους;
Ίσως, απ΄ το πολύ μεθύσι,
Φαντάζονται πως ηύραν λύση
Και, ότι μία, εκ των πολλών,
Γωνία, (των “τριών μοιρών”)
Έχουν τριχοτομήσει.
Εάν δε έχουν νομίσει,
Πως το επέτυχαν με τον κανόνα και τον διαβήτη τους,
Ε, τότε πια θα πρέπει, να μη βλέπουν ούτε τη μύτη τους.»
...
Δεν ξέρω εάν ήταν “μεγαλόψυχη” ή, απλώς, επέδειξε “ψυχραιμία”. Πάντως απήντησε ως εξής:
«Καταλήξατε, δηλαδή, εις το ότι, για να κατασκευαστεί η γωνία της μίας μοίρας, θα πρέπει να τριχοτομηθεί η γωνία των τριών μοιρών... – πράγμα, ως γνωστόν, αδύνατον»
«Μάλιστα.»
«Και, πώς καταλήξατε εις αυτό;»
«Χμμμ... Το ότι είναι αδύνατη η τριχοτόμηση τυχούσης γωνίας (εκτός της ορθής), το είχα μάθει όταν ήμουν μαθητής.»
«Όχι, όχι: –Στη γωνία των τριών μοιρών, πώς φθάσατε;»
«Ε, είναι πολύ απλό:
Αφού γνωρίζω να διαιρώ τον κύκλο διά του 5 και διά του 6, γνωρίζω και την γωνία του ενός πέμπτου αυτού μείον το ένα έκτο του... Αυτό, που, εσείς, θα λέγατε: «(72 – 60) μοίρες».
Λοιπόν, έχουμε 72 – 60 = 12.»
Σχεδίασα (κακοτέχνως) το σχετικό σχήμα και σιώπησα:
95η εικών:
Το “μαύρο” πολύγωνο είναι ένα κανονικό 5-γωνο.
Το “κόκκινο” πολύγωνο είναι ένα κανονικό 6-γωνο.
Οι “κίτρινη” γωνία είναι 12 “μοιρών”.
«Δηλαδή», πήρε τον λόγο, «διχοτομείτε την γωνία των 12 μοιρών και, κατόπιν, διχοτομείτε την μισή της...
Τώρα καταλαβαίνω γιατί είπατε πως, η γωνία των 12 μοιρών, γίνεται ενώ, οι γωνίες των 11 και των 13 μοιρών, δεν γίνονται...:
Προφανώς, κατασκευάζονται όσες γωνίες είναι ακέραια πολλαπλάσια των 3 μοιρών.»
«Μάλιστα.»
...
Εδώ, μου ανέφερε το εξής:
«Γνωρίζετε ότι υπάρχουν μερικοί μηχανικοί τρόποι για την τριχοτόμηση της γωνίας. Αυτοί – αν και, γεωμετρικοί – δεν γίνονται αποδεκτοί από αυτήν αποκαλούμε «Θεωρητική Γεωμετρία». Σας το λέω επειδή σας αρέσουν οι μηχανισμοί... Εάν θέλετε,. θα σας ψάξω να σας βρω και να σας φέρω...»
«Χμμμ... κάτι έχω ακούσει, σχετικώς και, βεβαίως, μ΄ ενδιαφέρει... αλλά, τώρα, έχουμε, ήδη, παρεκκλίνει πολύ από το θέμα μας που είναι η περίπτωση πρόσπτωσης των ηλιακών ακτίνων υπό γωνία μισής ορθής...»
«Αλήθεια», έκαμε, «ξεχάστηκα κι΄ εγώ:»
«Ξέρετε», είπα, «εκείνο που με προβληματίζει περισσότερο είναι, αυτό, το «μεσημέρι» – που είπατε... Ειδάλλως, καθημερινώς, υπάρχουν δύο στιγμές κατά τις οποίες συμβαίνει, οι ηλιακές ακτίνες, να προσπίπτουν υπό γωνίαν μισής ορθής.»
Έκαμε σαν να είδε, ξαφνικά, ένα ...τυφλό που ανέβλεψε:
«Μα, ΤΟ ΜΕΣΗΜΕΡΙ, αγαπητέ μου, είναι όλο το κλειδί...
Αλλά, πρέπει να πάρουμε τα πράγματα, με την σειρά:»
...
Βάλθηκε να μου εξηγεί ...τα ανεξήγητα.:
«Ο Θαλής, όπως (ίσως) θα έχετε ακούσει, μέτρησε το ύψος της πυραμίδας, με την βοήθεια της σκιάς της...
Δηλαδή, κάρφωσε στο έδαφος μία κατακόρυφη ράβδο της οποία εγνώριζε το ύψος... ας το πούμε υ...»
«Εννοείτε, το ύψος της ράβδου το εξέχον του εδάφους;»
«Βεβαίως – καλά με διορθώσατε...
Λοιπόν, κάποια στιγμή, η σκιά, σ, της ράβδου, γίνεται ίση προς το ύψος της, υ...»
«Και, πρέπει, αυτό, να γίνει το μεσημέρι;», επέμεινα.
«Έχετε υπομονή...:
Ανεξαρτήτως του πότε θα γίνει... τότε, το ύψος της πυραμίδας θα είναι όσο και η σκιά του. Δεν έχει λοιπόν παρά να μετρήσει αυτή την σκιά...»
Δεν είχα «υπομονή»:
«Και διά τί, παρακαλώ, να περιμένει, ο Θαλής, κάτω από τον ήλιο ώσπου να εξισωθούν αυτά τα δύο;... –Μα, ποιός λέει τέτοια πράγματα;»
«Πάντως, όχι: εγώ...: Προκύπτουν από ιστορικά στοιχεία...»
Δεν πτοήθηκα:
«Εγώ λέω ότι θα μέτρησε μία τυχούσα σκιά και ότι θα χρησιμοποίησε το ίδιο του το θεώρημα περί αναλογιών,... δηλαδή, αντί των σχέσεων σ = υ και Σ = Υ, θα χρησιμοποίησε την αναλογία: σ/υ = Σ/Υ.»
Δίστασα προτού συνεχίσω:
«Εκτός και αν, δεν το είχε αποδείξει ακόμη...: Αλλά, και αν ακόμη αυτό συνέβαινε, η εμπειρική χρήση, λόγων και αναλογιών, θα ήταν γνωστή...
Έκαμα ένα σχήμα χαρακτηριστικό, και συνέχισα:
Το “μαύρο” πολύγωνο είναι ένα κανονικό 5-γωνο.
Το “κόκκινο” πολύγωνο είναι ένα κανονικό 6-γωνο.
Οι “κίτρινη” γωνία είναι 12 “μοιρών”.
«Δηλαδή», πήρε τον λόγο, «διχοτομείτε την γωνία των 12 μοιρών και, κατόπιν, διχοτομείτε την μισή της...
Τώρα καταλαβαίνω γιατί είπατε πως, η γωνία των 12 μοιρών, γίνεται ενώ, οι γωνίες των 11 και των 13 μοιρών, δεν γίνονται...:
Προφανώς, κατασκευάζονται όσες γωνίες είναι ακέραια πολλαπλάσια των 3 μοιρών.»
«Μάλιστα.»
...
Εδώ, μου ανέφερε το εξής:
«Γνωρίζετε ότι υπάρχουν μερικοί μηχανικοί τρόποι για την τριχοτόμηση της γωνίας. Αυτοί – αν και, γεωμετρικοί – δεν γίνονται αποδεκτοί από αυτήν αποκαλούμε «Θεωρητική Γεωμετρία». Σας το λέω επειδή σας αρέσουν οι μηχανισμοί... Εάν θέλετε,. θα σας ψάξω να σας βρω και να σας φέρω...»
«Χμμμ... κάτι έχω ακούσει, σχετικώς και, βεβαίως, μ΄ ενδιαφέρει... αλλά, τώρα, έχουμε, ήδη, παρεκκλίνει πολύ από το θέμα μας που είναι η περίπτωση πρόσπτωσης των ηλιακών ακτίνων υπό γωνία μισής ορθής...»
«Αλήθεια», έκαμε, «ξεχάστηκα κι΄ εγώ:»
«Ξέρετε», είπα, «εκείνο που με προβληματίζει περισσότερο είναι, αυτό, το «μεσημέρι» – που είπατε... Ειδάλλως, καθημερινώς, υπάρχουν δύο στιγμές κατά τις οποίες συμβαίνει, οι ηλιακές ακτίνες, να προσπίπτουν υπό γωνίαν μισής ορθής.»
Έκαμε σαν να είδε, ξαφνικά, ένα ...τυφλό που ανέβλεψε:
«Μα, ΤΟ ΜΕΣΗΜΕΡΙ, αγαπητέ μου, είναι όλο το κλειδί...
Αλλά, πρέπει να πάρουμε τα πράγματα, με την σειρά:»
...
Βάλθηκε να μου εξηγεί ...τα ανεξήγητα.:
«Ο Θαλής, όπως (ίσως) θα έχετε ακούσει, μέτρησε το ύψος της πυραμίδας, με την βοήθεια της σκιάς της...
Δηλαδή, κάρφωσε στο έδαφος μία κατακόρυφη ράβδο της οποία εγνώριζε το ύψος... ας το πούμε υ...»
«Εννοείτε, το ύψος της ράβδου το εξέχον του εδάφους;»
«Βεβαίως – καλά με διορθώσατε...
Λοιπόν, κάποια στιγμή, η σκιά, σ, της ράβδου, γίνεται ίση προς το ύψος της, υ...»
«Και, πρέπει, αυτό, να γίνει το μεσημέρι;», επέμεινα.
«Έχετε υπομονή...:
Ανεξαρτήτως του πότε θα γίνει... τότε, το ύψος της πυραμίδας θα είναι όσο και η σκιά του. Δεν έχει λοιπόν παρά να μετρήσει αυτή την σκιά...»
Δεν είχα «υπομονή»:
«Και διά τί, παρακαλώ, να περιμένει, ο Θαλής, κάτω από τον ήλιο ώσπου να εξισωθούν αυτά τα δύο;... –Μα, ποιός λέει τέτοια πράγματα;»
«Πάντως, όχι: εγώ...: Προκύπτουν από ιστορικά στοιχεία...»
Δεν πτοήθηκα:
«Εγώ λέω ότι θα μέτρησε μία τυχούσα σκιά και ότι θα χρησιμοποίησε το ίδιο του το θεώρημα περί αναλογιών,... δηλαδή, αντί των σχέσεων σ = υ και Σ = Υ, θα χρησιμοποίησε την αναλογία: σ/υ = Σ/Υ.»
Δίστασα προτού συνεχίσω:
«Εκτός και αν, δεν το είχε αποδείξει ακόμη...: Αλλά, και αν ακόμη αυτό συνέβαινε, η εμπειρική χρήση, λόγων και αναλογιών, θα ήταν γνωστή...
Έκαμα ένα σχήμα χαρακτηριστικό, και συνέχισα:
96η εικών:
Αριστερά: Η λύση ενός ανοήτου:
Περιμένει (μεσ´ τον ήλιο) μέχρι που
η σκιά σ, της ράβδου να γίνει ίση προς το ύψος της υ.
Δεξιά: Η λύση ενός, νοήμονος (χρήση αναλογιών).
«Επομένως, όποιος λέγει ότι, ο Θαλής, περίμενε πότε θα συμβεί η εν λόγω ισότης (σκιάς-ύψους), είναι σαν να λέγει ότι ήταν ανόητος... ή, μάλλον, εμείς, πρέπει να εννοήσουμε πως, αυτός που τα λέγει αυτά, είναι ο ανόητος.»
«Ακούστε», μου έκαμε, όλο υπομονή και χάρη, «άλλοι, λέγουν ότι, ο Θαλής, όντως, χρησιμοποίησε αναλογίες...
Αλλά, αυτά που σχεδιάσατε εσείς, θα ίσχυαν μόνον εάν είχε να μετρήσει το ύψος μίας άλλης ράβδου ...(π.χ.) ενός τηλεγραφόξυλου...»
Δεν εννοούσα:
«Ίσως να μην είμαι τόσο νοήμων... αλλά ποία είναι η διαφορά;»
Της έμεινε η υπομονή αλλ´, όχι και η χάρη:
«Η διαφορά είναι ... “τόσο” απλό να την σκεφτείτε: Η σκιά του ύψους της πυραμίδας είναι, κατά ένα μεγάλο μέρος της, μέσα στην πυραμίδα και δεν φαίνεται», τόνισε. «Άρα, ο Θαλής, δεν μπορεί να την χρησιμοποιήσει...»
«Ααα...», την διέκοψα, «πολλά είναι εκείνα που “δεν φαίνονται” και όμως, τα χρησιμοποιούμε...»
«Χμμμ... δεν ξέρω ποιά εννοείτε αλλά, αυτό, ακριβώς έκανε και ο Θαλής – όπως θα έλεγα, αν δεν με διακόπτατε:
Χρησιμοποίησε την κρυμμένη σκιά του ύψους της πυραμίδας αλλά, το έκανε μία στιγμή που μπορούσε να τη μετρήσει – και ας μη την έβλεπε... δηλαδή, το μεσημέρι.»
«Πάλι, μ΄ αυτό το μεσημέρι...», έκαμα, σχεδόν νευριασμένος.
Δεν έδωσε σημασία και συνέχισε:
«Η πυραμίδα είναι προσανατολισμένη κατά την διεύθυνση Βορράς-Νότος.
–Αυτό σημαίνει πως δύο πλευρές της βάσης της, της ΑΒΓΔ, είναι κάθετες προς την διεύθυνση Βορρά-Νότου. Και, έστω πως αυτές, είναι η ΑΒ και η ΓΔ:
–Αυτό σημαίνει ότι το μεσημέρι οι ηλιακές ακτίνες προσπίπτουν καθέτως προς τις πλευρές αυτές.
–Αυτό σημαίνει ότι εκείνη την στιγμή, το τρίγωνο, ΑΒΣ της ορατής σκιάς είναι ισοσκελές (Σ, η σκιά της κορυφής της πυραμίδας δηλαδή το υψηλότερου σημείου του ύψους της..»
«–Αυτό σημαίνει» (την μιμήθηκα) «ότι η ΑΒ είναι μεταξύ της ΓΔ και του Βορρά.»
Υπερυθρίασε:
«Αχ, καλά που μου το επισημάνατε... Αυτό, θα έπρεπε να το είχα διευκρινίσει, εγώ... Θα το λάβω υπ΄ όψιν μου τώρα που θα φτιάξω ένα σχήμα. Δηλαδή, θα το σχεδιάσω όπως φτιάχνουμε τους χάρτες: Με το Βορρά προς το επάνω μέρος:»
Τό έκαμε, σχεδόν τέλειο:
Αριστερά: Η λύση ενός ανοήτου:
Περιμένει (μεσ´ τον ήλιο) μέχρι που
η σκιά σ, της ράβδου να γίνει ίση προς το ύψος της υ.
Δεξιά: Η λύση ενός, νοήμονος (χρήση αναλογιών).
«Επομένως, όποιος λέγει ότι, ο Θαλής, περίμενε πότε θα συμβεί η εν λόγω ισότης (σκιάς-ύψους), είναι σαν να λέγει ότι ήταν ανόητος... ή, μάλλον, εμείς, πρέπει να εννοήσουμε πως, αυτός που τα λέγει αυτά, είναι ο ανόητος.»
«Ακούστε», μου έκαμε, όλο υπομονή και χάρη, «άλλοι, λέγουν ότι, ο Θαλής, όντως, χρησιμοποίησε αναλογίες...
Αλλά, αυτά που σχεδιάσατε εσείς, θα ίσχυαν μόνον εάν είχε να μετρήσει το ύψος μίας άλλης ράβδου ...(π.χ.) ενός τηλεγραφόξυλου...»
Δεν εννοούσα:
«Ίσως να μην είμαι τόσο νοήμων... αλλά ποία είναι η διαφορά;»
Της έμεινε η υπομονή αλλ´, όχι και η χάρη:
«Η διαφορά είναι ... “τόσο” απλό να την σκεφτείτε: Η σκιά του ύψους της πυραμίδας είναι, κατά ένα μεγάλο μέρος της, μέσα στην πυραμίδα και δεν φαίνεται», τόνισε. «Άρα, ο Θαλής, δεν μπορεί να την χρησιμοποιήσει...»
«Ααα...», την διέκοψα, «πολλά είναι εκείνα που “δεν φαίνονται” και όμως, τα χρησιμοποιούμε...»
«Χμμμ... δεν ξέρω ποιά εννοείτε αλλά, αυτό, ακριβώς έκανε και ο Θαλής – όπως θα έλεγα, αν δεν με διακόπτατε:
Χρησιμοποίησε την κρυμμένη σκιά του ύψους της πυραμίδας αλλά, το έκανε μία στιγμή που μπορούσε να τη μετρήσει – και ας μη την έβλεπε... δηλαδή, το μεσημέρι.»
«Πάλι, μ΄ αυτό το μεσημέρι...», έκαμα, σχεδόν νευριασμένος.
Δεν έδωσε σημασία και συνέχισε:
«Η πυραμίδα είναι προσανατολισμένη κατά την διεύθυνση Βορράς-Νότος.
–Αυτό σημαίνει πως δύο πλευρές της βάσης της, της ΑΒΓΔ, είναι κάθετες προς την διεύθυνση Βορρά-Νότου. Και, έστω πως αυτές, είναι η ΑΒ και η ΓΔ:
–Αυτό σημαίνει ότι το μεσημέρι οι ηλιακές ακτίνες προσπίπτουν καθέτως προς τις πλευρές αυτές.
–Αυτό σημαίνει ότι εκείνη την στιγμή, το τρίγωνο, ΑΒΣ της ορατής σκιάς είναι ισοσκελές (Σ, η σκιά της κορυφής της πυραμίδας δηλαδή το υψηλότερου σημείου του ύψους της..»
«–Αυτό σημαίνει» (την μιμήθηκα) «ότι η ΑΒ είναι μεταξύ της ΓΔ και του Βορρά.»
Υπερυθρίασε:
«Αχ, καλά που μου το επισημάνατε... Αυτό, θα έπρεπε να το είχα διευκρινίσει, εγώ... Θα το λάβω υπ΄ όψιν μου τώρα που θα φτιάξω ένα σχήμα. Δηλαδή, θα το σχεδιάσω όπως φτιάχνουμε τους χάρτες: Με το Βορρά προς το επάνω μέρος:»
Τό έκαμε, σχεδόν τέλειο:
97η εικών:
Την μεσημβρίαν εκάστης ημέρα,
οι ηλιακές ακτίνες προσπίπτουν καθέτως
προς τις πλευρές της βάσεως της πυραμίδος, αυτές,
που είναι κάθετες προς την διεύθυνσιν Βορράς-Νότος (ΑΒ, ΓΔ).
Όταν το τελείωσε, είπε:
«Άρα η σκιά, ΚΣ, του ύψους της πυραμίδας ισούται με το ύψος ΣΗ του τριγώνου ΑΒΣ συν την μισή πλευρά της βάσης της, ας πούμε, της ΒΓ... Εεπομένως, τόσο είναι και το ύψος της – αφού οι ηλιακές ακτίνες προσπίπτουν στο έδαφος υπό γωνία 45... χμμμ... μισής ορθής.
Υπάρχουν – όπως είπαμε – δύο μεσημέρια τον χρόνο που συμβαίνει αυτό με τις ηλιακές ακτίνες (νομίζω 21 Νοεμβρίου και 20 Ιανουαρίου). Και, αυτό σημαίνει ότι, αυτά,τα δύο μεσημέρια, η μέτρηση...»
Την διέκοψα αγανακτισμένος:
«Ε, μα πια: «αυτό σημαίνει...» και... «αυτό σημαίνει...»:
Όλα αυτά σημαίνουν, ότι, όντως, η βλακεία είναι επινοητική: Διότι, βεβαίως, χρειάζεται μεγάλη επινοητικότης διά να πας από την Αθήνα στην Πάτρα, μέσω Λαμίας...»
«Τί, εννοείτε, δεν σας καταλαβαίνω...», είπε, εμφανώς, εκνευρισμένη.
«Εννοώ ότι, ο Θαλής, θα μπορούσε να κάμει την εν λόγω μέτρηση, οποιαδήποτε ημέρα του έτους και οποιαδήποτε ώρα της ημέρας,... αρκεί να υπήρχε ορατή σκιά... Και εννοώ ακόμη ότι, διά να το πράξει, απαιτούνται πολύ λιγότερες γνώσεις από εκείνες που απαιτούνται διά να συμβούν όλες αυτές οι φαντασιοπληξίες: Όπως, λόγου χάριν, το να γνωρίζει ποία είναι η ημέρα κατά την μεσημβρία της οποίας, οι ηλιακές ακτίνες προσπίπτουν υπό γωνίαν μισής ορθής – ασχέτως του αν, όταν λέμε «μισή ορθή», μπορεί να εννοούμε, απλώς μία προσέγγιση αυτής (όπως είπαμε).»
«Σας είπα ότι, η μέτρηση, μπορεί να μην έγινε αυτή την ημέρα (που, η σκιά της ράβδου, γίνεται ίση με το ύψος της) και, όντως, ο Θαλής, να χρησιμοποίησε αναλογίες...»
«Αλλά, πάντως», της προσέθεσα, ειρωνικώς, «το «μεσημέρι», «μεσημέρι», ε;
«Εάν δεν είναι μεσημέρι, δηλαδή, εάν οι ηλιακές ακτίνες δεν πέφτουν καθέτως προς την ΑΒ, τότε, πώς θα βρει ο Θαλής το μήκος της κρυμμένης σκιάς του ύψους της πυραμίδας;»
«Ιδού πρόβλημα δυσεπίλυτον», σχολίασα, εξ ίσου ειρωνικώς.
Εκείνη, συνέχισε:
«Εξακολουθείτε να αμφισβητείτε τα λεγόμενά μου...: Σας διαβεβαιώ ότι, αυτά που σας λέω, υπάρχουν σε έγκυρα συγγράμματα...»
«Εξακολουθώ να διατηρώ την νοημοσύνη μου και να την δια-φυλάσσω από “ύποπτες” παρεμβάσεις, οποθενδήποτε προερχόμενες.»
«Μήπως... συνωμοσιολογείτε;»
Ήτο το μόνο που βρήκε να πει, υπό το κράτος της – δικαιολογη-μένης(;) – οργής της, την οποία αντιπαρήλθα και απήντησα με ηρεμία ως εξής:
«Δηλαδή, εάν οι ακτίνες, ήταν όπως θα σας δείξω, τώρα, ο Θαλής δεν θα μπορούσε να βρει τη σκιά του ύψους της...»
Την μεσημβρίαν εκάστης ημέρα,
οι ηλιακές ακτίνες προσπίπτουν καθέτως
προς τις πλευρές της βάσεως της πυραμίδος, αυτές,
που είναι κάθετες προς την διεύθυνσιν Βορράς-Νότος (ΑΒ, ΓΔ).
Όταν το τελείωσε, είπε:
«Άρα η σκιά, ΚΣ, του ύψους της πυραμίδας ισούται με το ύψος ΣΗ του τριγώνου ΑΒΣ συν την μισή πλευρά της βάσης της, ας πούμε, της ΒΓ... Εεπομένως, τόσο είναι και το ύψος της – αφού οι ηλιακές ακτίνες προσπίπτουν στο έδαφος υπό γωνία 45... χμμμ... μισής ορθής.
Υπάρχουν – όπως είπαμε – δύο μεσημέρια τον χρόνο που συμβαίνει αυτό με τις ηλιακές ακτίνες (νομίζω 21 Νοεμβρίου και 20 Ιανουαρίου). Και, αυτό σημαίνει ότι, αυτά,τα δύο μεσημέρια, η μέτρηση...»
Την διέκοψα αγανακτισμένος:
«Ε, μα πια: «αυτό σημαίνει...» και... «αυτό σημαίνει...»:
Όλα αυτά σημαίνουν, ότι, όντως, η βλακεία είναι επινοητική: Διότι, βεβαίως, χρειάζεται μεγάλη επινοητικότης διά να πας από την Αθήνα στην Πάτρα, μέσω Λαμίας...»
«Τί, εννοείτε, δεν σας καταλαβαίνω...», είπε, εμφανώς, εκνευρισμένη.
«Εννοώ ότι, ο Θαλής, θα μπορούσε να κάμει την εν λόγω μέτρηση, οποιαδήποτε ημέρα του έτους και οποιαδήποτε ώρα της ημέρας,... αρκεί να υπήρχε ορατή σκιά... Και εννοώ ακόμη ότι, διά να το πράξει, απαιτούνται πολύ λιγότερες γνώσεις από εκείνες που απαιτούνται διά να συμβούν όλες αυτές οι φαντασιοπληξίες: Όπως, λόγου χάριν, το να γνωρίζει ποία είναι η ημέρα κατά την μεσημβρία της οποίας, οι ηλιακές ακτίνες προσπίπτουν υπό γωνίαν μισής ορθής – ασχέτως του αν, όταν λέμε «μισή ορθή», μπορεί να εννοούμε, απλώς μία προσέγγιση αυτής (όπως είπαμε).»
«Σας είπα ότι, η μέτρηση, μπορεί να μην έγινε αυτή την ημέρα (που, η σκιά της ράβδου, γίνεται ίση με το ύψος της) και, όντως, ο Θαλής, να χρησιμοποίησε αναλογίες...»
«Αλλά, πάντως», της προσέθεσα, ειρωνικώς, «το «μεσημέρι», «μεσημέρι», ε;
«Εάν δεν είναι μεσημέρι, δηλαδή, εάν οι ηλιακές ακτίνες δεν πέφτουν καθέτως προς την ΑΒ, τότε, πώς θα βρει ο Θαλής το μήκος της κρυμμένης σκιάς του ύψους της πυραμίδας;»
«Ιδού πρόβλημα δυσεπίλυτον», σχολίασα, εξ ίσου ειρωνικώς.
Εκείνη, συνέχισε:
«Εξακολουθείτε να αμφισβητείτε τα λεγόμενά μου...: Σας διαβεβαιώ ότι, αυτά που σας λέω, υπάρχουν σε έγκυρα συγγράμματα...»
«Εξακολουθώ να διατηρώ την νοημοσύνη μου και να την δια-φυλάσσω από “ύποπτες” παρεμβάσεις, οποθενδήποτε προερχόμενες.»
«Μήπως... συνωμοσιολογείτε;»
Ήτο το μόνο που βρήκε να πει, υπό το κράτος της – δικαιολογη-μένης(;) – οργής της, την οποία αντιπαρήλθα και απήντησα με ηρεμία ως εξής:
«Δηλαδή, εάν οι ακτίνες, ήταν όπως θα σας δείξω, τώρα, ο Θαλής δεν θα μπορούσε να βρει τη σκιά του ύψους της...»
98η εικών:
Τί είναι αυτό που δεν μπορούσε να βρει ο Θαλής:
Το ΣΛ, το ΛΚ ή, το άθροισμά τους;
Όταν ήλθε αντιμέτωπη με μία τόσο απλή όψη του (δήθεν) «δυσεπιλύτου προβλήματος» (αναλογιζομένη και όλα τα προηγούμενα) πήρε ένα ύφος που το εξέλαβα ως ...πώς να το πω;: «ενοχοσαστισμένο».
Θέλησα – με ειλικρινή διάθεση – να την “απαλλάξω” ή/και να της εξηγήσω (εξ ου και ο “ενικός οικειότητος”):
«Χμμμ.... Κοίταξε, αγαπητή μου:
–Εσύ, είσαι ένα “κορίτσι του σχολείου”...:
Έχεις μάθει να μην αμφισβητείς αυτά που διαβάζεις...:
Τα θεωρείς – ας πούμε – υπεράνω πάσης υποψίας...»
Μάλλον, είχα πέσει έξω:
«Εσύ όμως, ξέρεις να τα αμφισβητείς», έκαμε επιθετικά και συνέχισε επιθετικότερα:
«Και αν μου επιτρέπεις να σε ρωτήσω: –Με ποια στοιχεία... Θέλω να πω...»
«...Με ποια εφόδια», την συνεπλήρωσα, έντονα, μήπως και ενθυμηθεί την φράση που είχα υποθέσει πως θα έλεγαν περί εμού οι “ειδικοί” (εις το τέλος του κεφαλαίου, του πρώτου μέρους υπό τον τίτλο: «8. Η δίεδρος γωνία του κανονικού 12-έδρου.»).
Δεν έφερε αντίρρηση ή, απλώς, τα είχε λησμονήσει.
Οπότε συνέχισα:
«Κοίταξε αγαπητή:
Τα “εφόδια” που έχω, σου τα έχω, ήδη, αναφέρει:
Γνωρίζω ότι έχεις συγκρατήσει τα σχετικά με την εύρεση της ακτίνος ενός ...καταπλακωμένου κύκλου και της απόστασης ενός σημείου Α, εξωτερικού αυτού, από το κέντρο του, Κ...» (Κεφάλαιο υπό τον τίτλο: «4. Ο καταπλακωμένος κύκλος.».)
Έκαμα ταχύτατα ένα σχήμα, έγραψα την επεξήγηση που το ακολουθεί και της το έδειξα αποτόμως:
Τί είναι αυτό που δεν μπορούσε να βρει ο Θαλής:
Το ΣΛ, το ΛΚ ή, το άθροισμά τους;
Όταν ήλθε αντιμέτωπη με μία τόσο απλή όψη του (δήθεν) «δυσεπιλύτου προβλήματος» (αναλογιζομένη και όλα τα προηγούμενα) πήρε ένα ύφος που το εξέλαβα ως ...πώς να το πω;: «ενοχοσαστισμένο».
Θέλησα – με ειλικρινή διάθεση – να την “απαλλάξω” ή/και να της εξηγήσω (εξ ου και ο “ενικός οικειότητος”):
«Χμμμ.... Κοίταξε, αγαπητή μου:
–Εσύ, είσαι ένα “κορίτσι του σχολείου”...:
Έχεις μάθει να μην αμφισβητείς αυτά που διαβάζεις...:
Τα θεωρείς – ας πούμε – υπεράνω πάσης υποψίας...»
Μάλλον, είχα πέσει έξω:
«Εσύ όμως, ξέρεις να τα αμφισβητείς», έκαμε επιθετικά και συνέχισε επιθετικότερα:
«Και αν μου επιτρέπεις να σε ρωτήσω: –Με ποια στοιχεία... Θέλω να πω...»
«...Με ποια εφόδια», την συνεπλήρωσα, έντονα, μήπως και ενθυμηθεί την φράση που είχα υποθέσει πως θα έλεγαν περί εμού οι “ειδικοί” (εις το τέλος του κεφαλαίου, του πρώτου μέρους υπό τον τίτλο: «8. Η δίεδρος γωνία του κανονικού 12-έδρου.»).
Δεν έφερε αντίρρηση ή, απλώς, τα είχε λησμονήσει.
Οπότε συνέχισα:
«Κοίταξε αγαπητή:
Τα “εφόδια” που έχω, σου τα έχω, ήδη, αναφέρει:
Γνωρίζω ότι έχεις συγκρατήσει τα σχετικά με την εύρεση της ακτίνος ενός ...καταπλακωμένου κύκλου και της απόστασης ενός σημείου Α, εξωτερικού αυτού, από το κέντρο του, Κ...» (Κεφάλαιο υπό τον τίτλο: «4. Ο καταπλακωμένος κύκλος.».)
Έκαμα ταχύτατα ένα σχήμα, έγραψα την επεξήγηση που το ακολουθεί και της το έδειξα αποτόμως:
99η εικών:
Ποίος υπολογισμός είναι ευκολότερος:
Του ΑΟ (άγνωστο το Ο) ή, του ΣΚ (άγνωστο το Κ);
Αμέσως κατόπιν, της είπα:
«Εάν, εγώ, ένας αμαθής ξυλουργός μπορώ να μετρήσω την απόσταση ενός τυχόντος σημείου, Α, από το κέντρο Ο ενός κύκλου... ενός κύκλου, τόσο “πλακωμένου” που να φαίνεται μόνο ένα μικρό τόξο του... πώς μπορείς, εσύ, να πιστέψεις ότι, ο Θαλής, αδυνατούσε να μετρήσει την απόσταση ενός τυχόντος σημείου, Σ, από το κέντρο, Κ, ενός τετραγώνου, του οποίου εφαίνοντο και οι τέσσερις πλευρές;»
Η συζήτηση διεκόπη.
...
Εκείνη την ημέρα, προκλήθηκε μία διαταραχή στη σχέση μου με την κυρία καθηγήτρια. Μία διαταραχή η οποία, μάλλον, δεν έπαυσε ποτέ (εντελώς).
Και είναι παράξενο και λυπηρό το εξής:
Αυτό που υπήρξε η αιτία ή, η αφορμή διά να ασχοληθώ με κάτι τόσο ενδιαφέρον δι´ εμέ, ταυτοχρόνως, διετάραξε την σχέση μου με το πρόσωπο που την προκάλεσε...
Εν πάση περιπτώσει το έργο που “ανέλαβα”... το θεώρησα τόσο σημαντικό ώστε, «αν υπήρξε και κάποια παρενέργεια» (όπως είπα) «προς γνώσιν και συμμόρφωσιν» (όπως συνεπλήρωσα).
Με αυτό εννοούσα τις απαιτούμενες γεωμετρικές γνώσεις και την συμμόρφωσιν προς αυτές. Συνειδητοποίησα ότι χρειαζόμουν μία ισχυρή τεκμηρίωση των λεγομένων μου, διότι προέβλεπα ότι επρόκειτο να αντιμετωπίσω και ανθρώπους, οι οποίοι δεν θα ήσαν τόσο ευγενικοί ή, ανεκτικοί όσο η φίλη μου...
Ποίος υπολογισμός είναι ευκολότερος:
Του ΑΟ (άγνωστο το Ο) ή, του ΣΚ (άγνωστο το Κ);
Αμέσως κατόπιν, της είπα:
«Εάν, εγώ, ένας αμαθής ξυλουργός μπορώ να μετρήσω την απόσταση ενός τυχόντος σημείου, Α, από το κέντρο Ο ενός κύκλου... ενός κύκλου, τόσο “πλακωμένου” που να φαίνεται μόνο ένα μικρό τόξο του... πώς μπορείς, εσύ, να πιστέψεις ότι, ο Θαλής, αδυνατούσε να μετρήσει την απόσταση ενός τυχόντος σημείου, Σ, από το κέντρο, Κ, ενός τετραγώνου, του οποίου εφαίνοντο και οι τέσσερις πλευρές;»
Η συζήτηση διεκόπη.
...
Εκείνη την ημέρα, προκλήθηκε μία διαταραχή στη σχέση μου με την κυρία καθηγήτρια. Μία διαταραχή η οποία, μάλλον, δεν έπαυσε ποτέ (εντελώς).
Και είναι παράξενο και λυπηρό το εξής:
Αυτό που υπήρξε η αιτία ή, η αφορμή διά να ασχοληθώ με κάτι τόσο ενδιαφέρον δι´ εμέ, ταυτοχρόνως, διετάραξε την σχέση μου με το πρόσωπο που την προκάλεσε...
Εν πάση περιπτώσει το έργο που “ανέλαβα”... το θεώρησα τόσο σημαντικό ώστε, «αν υπήρξε και κάποια παρενέργεια» (όπως είπα) «προς γνώσιν και συμμόρφωσιν» (όπως συνεπλήρωσα).
Με αυτό εννοούσα τις απαιτούμενες γεωμετρικές γνώσεις και την συμμόρφωσιν προς αυτές. Συνειδητοποίησα ότι χρειαζόμουν μία ισχυρή τεκμηρίωση των λεγομένων μου, διότι προέβλεπα ότι επρόκειτο να αντιμετωπίσω και ανθρώπους, οι οποίοι δεν θα ήσαν τόσο ευγενικοί ή, ανεκτικοί όσο η φίλη μου...
No comments:
Post a Comment