4. Ο καταπλακωμένος κύκλος.
Ο
συνάδελφος, εσκέφθη επί του “στιχουργήματος”
και είπε:
«Φίλε,
αυτό, το λες για πρώτη φορά,... και έχει
μεγάλο βάθος...:
Μη
μιλάς (άσε με να το σκεφτώ...) και –
προπάντων – μη μου “ξανακοπανήσεις”
την γνωστή ιστορία... –Την έχω βαρεθεί.»
Η
αλήθεια είναι πως, κι´ εγώ, την έχω
βαρεθεί... Αλλά, τώρα, πρέπει να την
διηγηθώ, διότι, το εν λόγω επεισόδιο
(αυτό, με τον καταπλακωμένο
κύκλο),
έπαιξε πολύ μεγάλο ρόλο εις την εξέλιξη
του θέματος της αφήγησης: Υπήρξε το
κύριο κριτήριο διά του οποίου επείσθην
ότι, δεν μπορεί να είναι αληθή, αυτά που
διηγούνται περί του τρόπου διά του
οποίου, ο Θαλής, υπελόγισε το ύψος της
Πυραμίδος του Χέοπος. Υπήρξε δε και το
κύριο επιχείρημα απέναντι εις εκείνα
μίας φίλης μαθηματικού (αυτά θα τα
διηγηθώ εις το μέρος του βιβλίου υπό
τον τίτλο «Περί
πυραμίδος σκιάς.»).
Αξίζει, λοιπόν, τον κόπο να συμπεριληφθεί
εις την διήγηση αυτήν:
Δυό-τρεις
εβδομάδες μετά την συζήτηση με την
εύρεση του μέσου ενός τμήματος ευθείας
«άνευ χρήσεως διαβήτου», προέκυψε η
ανάγκη να “πάρουμε τα μέτρα” ενός
κύκλου, όντως, καταπλακωμένου
από διάφορα υλικά, δηλαδή, χωρίς να έχομε
δυνατότητα χρήσεως ουδενός εκ των
γνωστών τρόπων. Και δη: «άνευ
της χρήσεως του διαβήτου».
(Εφήρμοσα δε γνώσεις που τις είχα ...στις
“θεωρητικές μου αποσκευές” πολύ πριν
ασχοληθώ με την ξυλουργική τέχνη.)
Ο
ιδιοκτήτης κάποιου θερινού εξοχικού
κέντρου (εκείνου του καιρού), στα πλαίσια
μία μεγάλης ανακαίνισης που μας είχε
αναθέσει (στον εργοδότη μας) ήθελε να
στεγάσει και μία, μικρή, κυκλική πίστα χορού.
Η στέγαση, συμφώνως προς τους σχεδιασμούς
του διακοσμητού, θα απαιτούσε, συν τοις
άλλοις, οκτώ υποστυλώματα κανονικώς
διατεταγμένα, και απέχοντα 70 εκατοστά
από τον κύκλο της πίστας.
Τα
λοιπά μέρη της στέγης επρόκειτο να
συνδεθούν μεταξύ των ...διά του γνωστού
τρόπου των (συνήθων) διακοσμητών: «Εσύ
είσαι ο μάστορας, ξέρεις...», έκφραση που
μου προκαλεί “αλλεργία” (για λόγους
που δεν είναι της ώρας).
Το
“σχέδιο” που μας εδόθη, (βλέπε επομένη
εικόνα) θα μπορούσε να χαρακτηρισθεί
(απλώς) ως «πρόχειρο», εάν είχε
(τουλάχιστον) αναγεγραμμένη την διάσταση
“Χ”, που προσέθεσα κατόπιν ή, την
διάμετρο της κυκλικής πίστας.
22α
εικών:
Ένα
“παιδικό σχέδιο”, σχεδόν ωραίο
και,
περίπου, άχρηστο, από τεχνική άποψη...
Αυτά,
τα στοιχεία που έλλειπαν, δεν μπορούσαμε,
βεβαίως, να τα συμπεράνουμε (π.χ.) δι´
εφαρμογής των αναλογιών, χρησιμοποιώντας
τις πρόχειρες ενδείξεις: «α»
και «α
= 70».
«Πεταχτείτε»
είπε ο εργοδότης, «το απογευματάκι, μετά
το σχόλασμα, να πάρετε μέτρα... γιατί αν
περιμένουμε απ´ αυτόν (εννοούσε τον
διακοσμητή)... ζήτω, που καήκαμε...»
Όταν
πήγαμε, είδαμε έκπληκτοι ότι, η πίστα,
ήταν παντελώς καλυμμένη με διάφορα
υλικά, σε κιβώτια. Το μόνο που διεκρίνετο
ήταν ένα μικρό τμήμα τής κυλινδρικής
επιφανείας της εις την περιοχή όπου, το
έδαφος, κατηφόριζε...
23η
εικών:
Η
κυκλική πίστα καταπλακωμένη από διάφορα
κιβώτια.
Ο
συνάδελφος τα κοίταξε, κοίταξε κι εμένα
και είπε:
«Εγώ,
πάντως, δεν κουβαλάω... Δεν είναι δικιά
μας δουλειά, αυτή... Όταν βγάλουνε τα
κιβώτια, να μας ειδοποιήσουν... Το μόνο
κακό, είναι που ήρθαμε τζάμπα...»
Ευρήκα
την ευκαιρία να του υπενθυμίσω:
«Ιδού
ένα “πρακτικό”
πρόβλημα... που θα πρέπει να το «δεις
επί τόπου»
όπως μου έλεγες τις
προάλες... Χμμμ... και να
το αντιμετωπίσεις,
δηλαδή, να
το επιλύσεις...»
Αυτός,
υπεξέφυγε ως εξής:
«Εσύ,
έχεις σκεφτεί κάποιο άλλο πρόβλημα, πιο
παλιά, που να σε έχει εξασκήσει για να
λύσεις και τούτο;»
Διά
της υπεκφυγής του συνομολόγησε, εμμέσως
πλην σαφώς, ότι μία
και μόνη,
ήτο η άποψη η οποία πρέπει να τίθεται
υπό κρίσιν, η δική μου...
Ενώ,
λοιπόν, είχα αρχίσει να μελετώ, αυτός,
συνέχισε:
«Εδώ,
δεν “δουλεύει” το μέτρο, ούτε διαβήτης
ούτε κανόνας... χμμμ... μπορείς να μου
πεις αυτό που λέει ο Ευκλείδης, για τον
κύκλο;
«Του
δοθέντος κύκλου το κέντρον ευρείν»,
απήντησα...
«Αλλάάά»,
έκαμε, «για το κέντρο του μηηη «δοθέντος
κύύύκλου»,
και χωρίς
κανόνα και διαβήτη...
λέέέει, τίποτα;»
Απήντησα,
σχεδόν, μονολογώντας:
«Το
κέντρο του κύκλου, βεβαίως, δεν μπορούμε
να το βρούμε... Αλλά, εμάς, μας ενδιαφέρει
η ακτίνα του... Λοιπόν,
δεν μπορούμε μεν να την μετρήσουμε
(διότι δεν την βλέπουμε) αλλά, μπορούμε
να την υπολογίσουμε, εξετάζοντας αυτό
που βλέπουμε, δηλαδή, το τμήμα του κύκλου
ή, μάλλον, της κυλινδρικής επιφανείας
της πίστας που έχουμε ενώπιόν μας.»
«Χμμμ...
Να που, κι´ εσύ, ξεκινάς, με αυτό που
«βλέπεις
επί τόπου»...»
«Πώς
αλλιώς;... Μόνο που, εγώ, όντως, έχω στο
μυαλό μου και κάποιο άλλο πρόβλημα, ήδη,
λυμένο...
(και, έτσι, απαντώ και στην ερώτηση που
μου έθεσες):
Το
πρόβλημα αυτό είναι εκείνο που, οσάκις
το επιλύω, εσύ, αρνείσαι να παρακολουθήσεις
το πώς...: Σου μιλάω για την κατασκευή
ενός τόξου, το οποίο να έχει βέλος
σταθερό και, χορδή,
δοθείσα.»
24η
εικών:
Ζητείται
το τόξο ΑΑ´,
όταν έχουν δοθεί:
η
χορδή Α´Α
και το βέλος ΗΒ.
Εδώ,
θα πρέπει να αναφέρουμε τους λόγους
που “φέρνουν”, μέσα στο ξυλουργείο,
αυτό το γεωμετρικό πρόβλημα:
Τα
σχέδια της επομένης εικόνος μπορεί να
παριστούν πολλά και διάφορα αντικείμενα:
Π.χ., το επάνω μέρος από κάποια θυρόφυλλα,
ή, παράθυρα, ή τραπέζια κτλ:
Το
κάτω μέρος του οριζοντίου στελέχους
είναι τόξο κύκλου, χορδής α.
Διά
τεχνικούς και αισθητικούς λόγους, θα
πρέπει να συμβαίνουν τα εξής:
- Η, διακεκομμένη ευθεία (ε), να είναι σταθερά (ούτε να ανεβαίνει ούτε να κατεβαίνει, δι΄ εν έκαστον των αντικειμένων, μεμονομένως).
- Το βέλος β να έχει σταθερό μήκος (ήτοι, το υψηλότερο σημείο του τόξου να απέχει σταθερή απόσταση από την ευθεία (ε)).
- Αυτά θα πρέπει να συμβαίνουν ανεξαρτήτως της χορδής (του “ανοίγματος”) α:
25η
εικών:
Ζητούνται
οι κύκλοι εις τους οποίους ανήκουν τα
τόξα
που
ευρίσκονται εις το κάτω μέρος των
οριζοντίων στελεχών.
Απαίτηση:
Αυτά τα τόξα πρέπει να είναι τέτοια
ώστε,
τα
“βέλη” τους, β,
να είναι ίσα, ανεξαρτήτως της χορδής
τους,
δηλαδή,
του “ανοίγματός”, α.
Εννοείται
ότι εάν θέλουμε να κατασκευάσουμε με
ακρίβεια τα τοξωτά μέρη των οριζοντίων
στελεχών θα πρέπει να εύρομε τους κύκλους
εις τους οποίους ανήκουν...
Διά
κάθε διαφορετική χορδή (ή, διαφορετικό
άνοιγμα) α
θα έχουμε και διαφορετικό κύκλο...
Πρόκειται
περί ενός «παραμετρικού
προβλήματος»
(όπως λέγεται), με παράμετρο το α.
Κάθε
φορά που αντιμετωπίζαμε στο ξυλουργείο
ένα παρόμοιο πρόβλημα (υπολογισμού
ακτίνος τόξου, δοθέντος βέλους), διά την
επίλυσή του, χρησιμοποιούσα την αυτή
μέθοδο – γνωστή μου από το σχολείο... Η
μέθοδος βασίζεται εις τα όμοια τρίγωνα
ΑΒΓ,
ΗΑΓ
και ΗΓΑ
όπου, ΑΗ,
το ύψος ορθογωνίου τριγώνου, του ΑΒΓ,
με ορθή γωνία την Α.
Επίσης, εις την παρατήρηση ότι η γωνία,
η εγγεγραμμένη εις ημικύκλιο, είναι
ορθή.
Σημείωση
– υπενθύμιση:
Δοθέντος
ότι, εις αυτό το βιβλίο, εξετάζονται οι
ικανότητες και οι γνώσεις του Θαλού,
είναι σκόπιμο να υπενθυμίσουμε πως,
αυτός, είναι ο πρώτος ο οποίος απέδειξε
ότι:
«Η
εν τω ημικυκλίω γωνία ορθή εστίν.»
Λέγεται
δε πως, όταν το απέδειξε, ...θυσίασε ένα
βόδι.
Η
συχνή επανάληψη αυτής διαδικασίας με
είχε κάμει να την βαρεθώ...: –Κάθε φορά
καλούσα αυτόν, τον συνάδελφο (“βοηθό”
μου, συμφώνως προς την αξιακή διάταξη
του ξυλουργείου), διά να του την μάθω...
αλλά, αυτός, ...πού;(!)...
...
Αυτά,
λοιπόν, είχα εις τον νουν μου όταν του
είπα:
«Θα
σου κάνω ένα ακριβές και ...“περιποιημένο”
σχέδιο και θα σου δείξω για τελευταία
φορά...:
Πρόσεξε
γιατί, από δω και εις το εξής, θα το κάνεις
μόνον εσύ...»
...
Εις
την πραγματικότητα, την ακρίβεια, την
ήθελα, εγώ, ο ίδιος, ώστε να εξετάσω την
δυνατότητα εφαρμογής της ίδιας μεθόδου
επί του προβλήματος της πίστας που είχε
προκύψει.
...
Έκαμα
ένα σχήμα (αυτό, παραπλεύρως) που μου
εφάνη τόσο καλό, ώστε, αργότερα, το
βελτίωσα, το εφύλαξα και, τώρα, το έχω,
“κορνιζαρισμένο” στο ξυλουργείο μου:
26η
εικών:
Υπολογισμός
της διαμέτρου, 2R,
ενός κύκλου
εκ
της χορδής Α´Α
και του βέλους ΒΗ,
ενός
τόξου, δοθέντος ή/και ζητουμένου.
Το
2R
υπολογίζεται με την βοήθεια
ομοίων
ορθογωνίων τριγώνων (ΑΒΓ
και ΗΑΒ).
Όταν,
ο συνάδελφος, είδε το σχήμα, παρετήρησε:
«Στο
πρόβλημα που έχουμε εδώ, ούτε το βέλος
φαίνεται, ούτε η χορδή...»
«”Έπεσε”
σε περισυλλογή, ώσπου είπε λυπημένα:»
«Είναι
όλα πλακωμένα.»
Απήντησα
ως εξής:
«Φίλε,
πρόσεξε:
Για
να μετρήσουμε την χορδή,... μιά οποιαδήποτε
χορδή, δεν είναι ανάγκη να την βλέπουμε:
Θυμάσαι(;)
πως κάνουμε όταν (π.χ.) θέλουμε να
μετρήσουμε την απόσταση ανάμεσα σε δύο
σημεία, Α
και Β,
τα οποία ευρίσκονται στην επιφάνεια
μίας, κατακόρυφης, κυλινδρικής κολόνας,
Κ;»
«Με
το κουμπάσο(;)...»
«Χμμμ...
ναι. Τώρα, πρόσεξε:
Ας
υποθέσουμε ότι τα Α
και Β
ευρίσκονται εις το αυτό οριζόντιο
επίπεδο, το (Π)...:
Το
(Π)
τέμνει την κολόνα Κ,
κατά ένα κύκλο, τον (Ο).
Ε,
λοιπόν: Το ΑΒ
που μετράμε, είναι η χορδή ενός τόξου
του κύκλου (Ο).
Αυτή την χορδή, την μετράμε χωρίς να
βλέπουμε τον κύκλο (Ο).»
Πήρα
ένα κουτάκι από μπογιά που βρήκα εκεί
δίπλα, και έβαλα επάνω του τον δείκτη
και τον αντίχειρά μου ως αν, το χέρι μου,
να ήταν κουμπάσο:
27η
εικών:
Η
χορδή που μετράμε διά του κουμπάσου,
ενίοτε,
δεν φαίνεται...
Το
έδειξα εις τον συνάδελφο και είπα:
«Ανάμεσα
στις άκρες Α
και Β
των δακτύλων μου (εάν είναι τοποθετημένες
επί ενός επιπέδου παραλλήλου προς τις
βάσεις αυτού του κυλίνδρου) υπάρχει μία
χορδή, ενός κυκλικού τόξου είτε, αυτό,
φαίνεται είτε όχι.»
«Λοιπόν»,
έκαμε χαρούμενος, «μπορούμε να φτιάξουμε
κάτι σαν ένα μεγάλο κουμπάσο, να το
ακουμπήσουμε στην όρθια περιοχή της
πίστας που φαίνεται και...»
Αμέσως,
κατόπιν, απώλεσε την χαράν του, σκυθρώπιασε
και απόρησε:
«Και
μετά;...»
«Σιγά-σιγά,
μη βιάζεαι», του είπα, «πρέπει να
καταλαβαίνουμε τι κάνουμε:
Εάν
ακουμπήσουμε το κουμπάσο επί της
επιφανείας που είπες (βεβαίως, με ορθό
τρόπο: οριζόντιο κτλ), τότε, θα ορίσουμε
επ΄ αυτής, ένα τμήμα ευθείας ίσο προς
το άνοιγμα του κουμπάσου. Αυτό το τμήμα
θα είναι χορδή ενός τόξου. –Σωστά;»
«Βεβαίως»,
έκαμε ο άλλος και συνέχισε:
«Εάν
ξέραμε και το βέλος αυτού του τόξου,
τότε, θα κάναμε ό,τι έκανες προηγουμένως...
(στο σχήμα). Αυτό όμως, το βέλος, δεν το
ξέρουμε γιατί είναι ανάμεσα στο τόξο
και την χορδή... και, όλα αυτά, είναι
πλακωμένα με χίλια δυο πράγματα...»
Του
απήντησα ως εξής:
«Εάν
δεν είχε αρχίσει να σουρουπώνει θα σου
εξηγούσα πιο αναλυτικά αυτό που θα
κάνω...»
«Καλλίτερα
να μη μου εξηγήσεις καθόλου...: Πες μόνο
τι χρειάζεσαι,... για να σε βοηθήσω και...
να τελειώνουμε...»
Συμβιβάστηκα
με την αρνησιμάθειά του... και αξιοποίησα
την εργασιακή του προθυμία...
...
Μετ´
ολίγον είχαμε, εν χρήσει, μία διάταξη
όπως αυτή που βλέπουμε, εις το σχήμα που
ακολουθεί:
28η
εικών:
Το
“κουμπάσο”, τοποθετείται ούτως ώστε,
σημεία Α και Α΄,
να
κείνται επί της κυλινδρικής επιφανείς
της πίστας.
Ο
“πράσινος” κανών, κ,
ολισθαίνει κατά την διεύθυνση ΜΝ
(Μ,
Ν:
καρφιά καρφωμένα επί των “κιτρίνων”
στελεχών)
έως
ότου έλθει εις επαφήν με το τόξο ΑΑ´,
εις το σημείο Β.
Σταθεροποιούμε
τον κ επί των κιτρίνων στελεχών.
Το
ΗΒ
να είναι το ζητούμενο βέλος του τόξου
ΑΑ´.
Το
ΗΒ
ευρίσκεται διότι το Η
είναι το μέσον της ΑΑ΄
και
έχει
μία (εκ των προτέρων) γνωστή απόσταση
από το σημείο Ν.
Κατόπιν
όλων αυτών δεν προσέθεσα τίποτε. Αυτό,
το έπραξε ο συνάδελφος:
«Εάν,
τώρα, στην ακτίνα που θα βρούμε, προσθέσουμε
και τους 70
πόντους, που θέλει ο διακοσμητής να
απέχουν τα κολονάκια, θα έχουμε την
ακτίνα της κατασκευής μας...»
«Την
ακτίνα, αυτή – όπως είπαμε – θα την
υπολογίσεις εσύ...»
(Εγώ
το είπα, εγώ το άκουσα...)
Την
άλλη μέρα, περνώντας έξω από το γραφείο
του εργοδότου μας, άκουσα, τον διακοσμητή,
να φωνάζει:
«Αδύνατον!...
αδύνατον...!»
(Είχε
έρθει – το εννόησα κατόπιν – δια να
εξηγήσει ότι, η μέτρηση της διαμέτρου
της πίστας, θα “έπρεπε” να καθυστερήσει
“λιγάκι”.)
«Να,
αυτός εδώ, το έκανε», είπε φωνακτά (ώστε
να το ακούσω), μόλις με είδε ο εργοδότης
.
Έπειτα,
στραφείς προς εμέ, έκαμε με ύφος, δήθεν,
προστακτικό:
«Έλα
'δω, εσύ... Κάτι θέλει να σε ρωτήσει ο
κύριος.»
Μ΄
εκοίταξε δε με βλέμμα ενθαρρυντικό ώστε
να απαντήσω, εις τον διακοσμητήν,
“καταλλήλως”...:
Εν
τω μεταξύ, ο άλλος, είχε αρχίσει:
«Σε
παρακαλώ, νεαρέ, πες μου:
Εσύ
(ας πούμε) πήγες και έβαλες ένα σημείο...
ένα παλούκι – να πούμε – σε απόσταση
70
πόντους από την πίστα, και υπολόγησες
πόσο απέχει, το παλούκι, από το κέντρο
της... χμμμ... δηλαδή, από το κέντρο ενός
κύκλου που ήταν καταπλακωμένος με
διάφορα υλικά;...»
«Μάλιστα»,
έκαμα με το πιο φυσικό και αθώο ύφος.
«Ε,
και πώς το κατάφερες, αυτό;!», ξέσπασε...
Εγώ,
ενώ είχα προετοιμάσει την απάντηση και
ήμουν αποφασισμένος να του την δώσω,
προσεποιήθην ότι κόμπιασα:
«Γκμμμ,
θα σας το έλεγα... αλλά, έχω ακούσει τον
κύριο εργοδότη, από 'δω, να λέει (σε
κάποιον άλλον...) ότι, «τα
μαθήματα, πληρώνονται χωριστά»...»
Ο
διακοσμητής, αντί να παρεξηγηθεί, το
αντιπαρήλθε. Μάλιστα δε, εύρε και την
ευκαιρία να “δείξει” ότι ...ήτο άνθρωπος
με χιούμορ:
«Αγαπητέ
μου, από δω και πέρα, όταν θα θέλω να
υπογραμμίσω την εξυπνάδα κάποιου, δεν
θα λέω (το γνωστό):
«Βουλωμένο
γράμμα διαβάζει»...
Αλλά
θα λέω:
«Πλακωμένο
κύκλο μετράει...»
Από
τότε “μου έμεινε”... (και μου αποδίδεται
ως ιδιότης).
...
Δεν
είμαι βέβαιος περί του αν ο διακοσμητής
με επήνεσε ή, με ηρωνεύθη... Ούτως ή, άλλως
δεν θα διαφοροποιούσε την γνώμη μου
περί αυτού. –Όχι, ειδικώς, “αυτού”
αλλά, γενικώς, περί της κατηγο-ρίας των
διακοσμητών.
(Οι
εξαιρέσεις, οι οποίες, βεβαίως, δεν
...«επιβεβαιώνουν τον κανόνα» – οποία
ανοησία... – δεν επαρκούν και διά να τον
διαψεύσουν...)
...
Αργότερα,
όταν δημιούργησα το ξυλουργείο που έχω
τώρα, αυτό, το “περί
μαθημάτων”,
κατά κάποιο τρόπο, το εφήρμοσα:
Π.χ.,
υπήρξαν πολλές φορές όπου είπα σε κάποιον
διακοσμητή:
«Αυτό
το σχέδιο, διά να εκτελεσθεί, θα πρέπει
να σχεδιαστεί ορθώς. Η σχεδίαση, εάν
θέλετε να την αναλάβουμε εμείς, θα
κοστίζει τόσο.»
No comments:
Post a Comment