29. Η λύσις διά δύο στοχεύσεων. [Μέρος ΙV, Κεφ. 29 (26/12/13)]

Μετάβαση εις τα σχόλια:
Αρχικό...
Τελικό...

29. Η λύσις διά δύο στοχεύσεων.

        Εκείνοι που διαδίδουν πως ο Θαλής υπελόγισε το ύψος της Πυραμίδους του Χέοπος, χρησιμοποιώντας την σκιά της, δεν παύουν να εντυπωσιάζονται από την μεγάλη ακρίβεια που επέτυχε (σχεδόν 99% )· μία ακρίβεια η οποία (όπως παρατηρούν αυτοί ούτοι), κατ΄ αρχήν, βλάπτεται από το γεγονός ότι, η κορυφή της πυραμίδος είχε, ήδη, υποστεί φθορά, άρα, το ύψος της πυραμίδος, είχε μειωθεί.
        Το πρόβλημα αυτό δεν θα προκαλούσε ουδεμία δυσκολία εις τον Θαλή – γνωστού όντως ότι ήξερε “να παίρνει περασιές” (Παραδοχή: Β, 2α):
        Πράγματι, εάν η σκιά της πυραμίδος, έχει άλλο σχήμα του αναμενομένου (π.χ., παρουσιάζει μία “στρογγυλάδα”), θα μπορούσε να εύρει το σημείο της σκιάς της αληθούς κορυφής της (tης άλλοτε ποτέ, τότε που η πυραμίς ήτο νεόδμητη):
        Αρκεί να έπαιρνε τις “περασιές”, των σκιών των ακμών της πυραμίδος και να εύρισκε το σημείο τομής των.

163η εικών:
Η σκιά της (άλλοτε ποτέ) κορυφής της πυραμίδος
ευρίσκεται ως τομή (των προεκτάσεων) των σκιών των ακμών της.

        Η ευκολία των προηγουμένων ενεργειών (και όλων των άλλων) τελούν υπό μία απαραίτητη προϋπόθεση: Ότι το έδαφος επί του οποίο πραγματοποιούνται είναι απολύτως επίπεδο,... με την μαθηματική έννοια – ένα «(Π)». Εάν, μάλιστα, ο υπολογισμός του ύψους έγινε συμφώνως προς την εκδοχή της ισότητας ύψους-σκιάς, δηλαδή, την στιγμή κατά την οποία οι ηλιακές ακτίνες προσπίπτουν υπό γωνία μισής ορθής, τότε, το (Π), θα έπρεπε να είναι και απολύτως οριζόντιο.
        Ο Θαλής, όλα αυτά , δεν μπορούσε να τα θεωρήσει ως «δεδομένα εξ υποθέσεως». Αντιθέτως, έπρεπε να τα ελέγξει και, κατά πάσα πιθανότητα, να τα διορθώσει, τουλάχιστον, εις το σημείο που υπήρχε η σκιά της κορυφής της πυραμίδος και εκεί που θα έμπηγε την κατακόρυφη ράβδο...Ειδεμή, ουδείς θα τον εθαύμαζε διά την ακρίβειά του. Δηλαδή, ο υπολογισμός του ύψους, θα είχε γίνει με τεράστια απόκλιση και, η μέθοδος, θα ήτο κατάλληλη μόνον διά ...συνθήκες “μαθηματικού πειραματισμού” (ιδανικά επίπεδα, πυραμίδες κτλ). Εις την πράξη, αν το έδαφος έχει μία “καμπούρα” ή, ένα “βαθούλωμα”, ύψους ή, βάθους δ, αυτό, επηρεάζει το μήκος της σκιάς που ρίπτουν τα διάφορα αντικείμενα (επομένη εικών). Μία τέτοια επίδραση, εις την σκιά της ράβδου, θα ήταν καταστροφική διά την ακρίβεια του υπολογισμού του ύψους της πυραμίδος: Π.χ., αν, το μήκος της ράβδου είναι 1/100 του ύψους της πυραμίδος κάθε μεταβοή ενός εκατοστού εις την σκιά της θα έδιδε σφάλμα υπολογισμού, σχεδόν, δύο μέτρων.

164η εικών (επανάληψη-σμίκρυνση της 127ης εικόνος):

Όταν το έδαφος έχει ανωμαλίες, τότε, το άκρον, Σ, της σκιάς
μετατοπίζεται κατά μία απόσταση που μεγαλώνει
όσο μικραίνει η κλίση των ηλιακών ακτίνων.

        Το πρόβλημα του “αλφαδιάσματος” ή, του στρωσίματος (μίας περιοχής) του εδάφους, δεν θα προκαλούσε ουδεμία δυσκολία εις τον Θαλή – γνωστού όντως ότι ήξερε “να παίρνει και αλφαδιές” (Παραδοχή: Β, 1η – προηγούμενο κεφάλαιο):
        ...
        –Το κακό είναι ότι, ώσπου να τα κάμει όλες τις απαραίτητες ενέργειες ώστε, να “στρώσει” το έδαφος εις το σημείο προσπτώσεως των σκιών της πυραμίδος και της ράβδου, οι σκιές αυτές, θα έχουν μετατοπισθεί κατά πολύ (καθόσον, και ο Ήλιος “τρέχει” – όπως το πλοίο του προηγουμένου κεφαλαίου).
        Παρόμοιες παρατηρήσεις με οδήγησαν εις το εξής συμπέρασμα:
        «Διά να υπολογίσει, ο Θαλής, το ύψος της πυραμίδος, έπρεπε να χρησιμοποίησε μία μέθοδο άνευ της χρήσεως της σκιάς.»
        Συνειδητοποίησα δε ότι ήτο εντελώς εύλογο, αυτό που, κάποτε, είχα εξαγγείλει ότι θα αποδείξω, χάριν αστεϊσμού και προς χλεύην των κατατρυχομένων με την εξέταση της σκιάς (και... της ειδικής ημέρας και ώρας κατά την οποία ρίπτεται). Τοιουτοτρόπως υπετίμησα ένα σοβαρό θέμα και εξετέθην (εμφανιζόμενος ως οδηγούμενος από τοιαύτα, “ταπεινά”, κίνητρα), πράγμα που θα είχα αποφύγει εάν, προτού ομιλήσω, είχα μελετήσει περισσότερο... –Βεβαίως, δεν ...το έγραψα και εις την εφημερίδα... μόνο στην γνωστή μαθηματικό το έχω πει... Τέλος πάντων – τώρα έγινε...:
         ...
        Δεν μπορούμε – εννοείται – να γνωρίζουμε το πώς εσκέφθη ο Θαλής (ενδομύχως). Μπορούμε όμως, κάπως, να φανταστούμε το πώς (μπορεί να) έχει ενεργήσει· την μεδοδολογία που ακολούθησε.
        Επομένως, ο τρόπος παρουσιάσεως των ενεργειών του θα είναι, κατά το μάλλον ή, ήττον, συνθετικός – όχι, αναλυτικός:
        «Έκαμε αυτό,... έκαμε εκείνο...».
        ...
        Εάν, ο Θαλής, ήθελε να μετρήσει το ύψος της πυραμίδος χωρίς να χρησιμοποιήσει την σκιά της, τότε, το μόνο που είχε να κάμει, ήταν ...να παρατηρεί αυτήν ταύτην την πυραμίδα και δη την κορυφή της, Κ.
        Όμως, ποίαν «Κ», παρατηρεί και στοχεύει; –Αυτήν που βλέπει, κατά την συγκεκριμένη στιγμή, την ψευδή, την ...“ποντικοφαγωμένη” (ως αποτέλεσμα φθοράς χιλιετιών) ή, την αληθή, την ...“άλλοτε ποτέ”, τότε που, η πυραμίς, ήτο νεόδμητη;
        Το πράγμα έχει, συγκεκριμένα, ως εξής:
        Ο Θαλής αντιλαμβάνεται ότι, η αληθής κορυφή της πυραμίδος, ευρίσκεται σε κάποιο σημείο,
Κ_α, υψηλότερα από αυτό εις το οποίο την βλέπει τώρα, το Κ_ψ. Και, παρότι δεν βλέπει το Κ_α, γνωρίζει που είναι ή, μάλλον, τι είναι:
        Είναι η τομή των ακμών της πυραμίδος.
        Ας το δείξουμε δι΄ ενός επεξηγημένου σχήματος:

165α εικών:
Ο Θαλής βλέπει το Κ_ψ αντί του Κ_α, το οποίο δεν βλέπει.
Γνωρίζει όμως ότι, το Κ_α, ευρίσκεται εις
το σημείο τομής των ακμών της πυραμίδος.

        Εδώ, ο Θαλής, θέτει εις τον εαυτό του ένα σοβαρό ερώτημα:
        «–Θα προσπαθήσω να βρω την αληθή κορυφή, την Κ_α, ή θα αρκεστώ εις την χρήση της ψευδούς, της Κ_ψ; –Μήπως, να στοχεύσω “λιγουλάκι” πιο ψηλά, ώστε να μειώσω, “κάπως”, το σφάλμα... έ, και  ...να “πετάξω” ένα «δεν βαριέσαι» – όπως μερικοί-μερικοί (οι και «σκιτζήδες» αποκαλούμενοι);».
        Αποφασίζει να αναβάλει προς το παρόν την εξέταση του ερωτήματος, να προχωρήσει εις τις ενέργειες εκείνες που είναι αναγκαίες, διά κάθε περίπτωση και, κατόπιν, να το θέσει εκ νέου:
        Επιστρατεύει όλη την μαστοριά του ήτοι, την ικανότητα “ζυγισμάτων” και λήψεως “αλφαδιών” και “περασιών” (Παραδοχές Β: 1η και 2α) κτλ:
        Επιλέγει μία θέση  εις την περιοχή πέριξ της πυραμίδος και τοποθετεί κατακορύφως, ένα πολύ μακρύ καδρόνι ήτοι, ένα τετραγωνικό στύλο σ. (Αυτό το καδρόνι, δεν χρειάζεται να είναι απολύτως ευθύ· αρκεί τα άκρα του να ευρίσκονται επί της αυτής κατακορύφου.)
        Το καδρόνι, σ, εις το κάτω μέρος του, καταλήγει εις αιχμήν, ενώ εις, το άνω, καταλήγει εις μία ακμήν, Λ. Κατά την στερέωση, η Λ, έχει κατεύθυνση “προς” το ύψος, υ, της πυραμίδος, ήτοι, (“θεωρητικώς”) η Λ και το υ είναι ομοεπίπεδα. Ονομάζουμε Σ το άκρο της Λ το οποίο βλέπει ο Θαλής όταν το σ ευρίσκεται μεταξύ αυτού και της πυραμίδος.
        Εις το Σ υπάρχει ένα καρφί με μεγάλο “κεφάλι” και, επ΄ αυτού, προσδεδεμένο ένα χονδρό και μακρύ “ράμμα”, με δύο άκρα, ρ και ρ΄.

166η εικών:
Αριστερά: Η αιχμή, εις το κάτω μέρος του καδρονίου σ.
Μέσον και δεξιά: Η ακμή Λ, εις το άνω μέρος του σ,
μετά των προσδεδεμένων άκρων
του  “ράμματος”, ρ και ρ΄,  επί ενός ήλου.

        Σημείωση:         Ως προς την κατακόρυφη στερέωση του καδρονίου σ, ο Θαλής,  πρέπει να επιτύχει τέσσαρα πράγματα:
        1ον: Να το εμπήξει εντός του εδάφους, παρότι δεν μπορεί να το κρούσει εκ των άνω.
        2ον: Να το “ζυγίσει” (να το καταστήσει κατακόρυφο), παρότι το σημείο ανάρτησης του “ράμματος” (το άνω σημείο, Σ του καδρονίου) είναι απροσπέλαστο εις αυτόν.
        3ον: Να καταστήσει μετρήσιμο το (ορατό) ύψος του σ, παρότι, ένα μέρος του, διαρκώς αυξανόμενο, θα είναι αόρατο (καθώς θα εμπηγνύεται εντός  του εδάφους.
        4ον: Να το στερεώσει, ακλονήτως, ώστε εάν “τραβήξει ράμμα” από του σημείου Σ, το σ, να μην παρεκκλίνει (λόγω της τάσεως του “ράμματος”).
        Αυτά, τα τέσσαρα πράγματα, ο Θαλής, θα τα επιτύχει, βεβαίως, διά της εγνωσμένης μαστοριάς του. Αλλά, εδώ, προς αποφυγήν υπερβολικής περισπάσεως δεν θα εξετάσουμε τους τρόπους δια των οποίων τα επέτυχε. Αυτό θα γίνει εις το τέλος του βιβλίου (εις το Παράρτημα).

        Κατόπιν, ο Θαλής ευρίσκει ένα σημείο στόχευσης, Τ, απ΄ όπου μπορεί να βλέπει, ταυτοχρόνως, τόσον μία ακμή (δηλαδή, ευθεία), του σ, έστω την (σ), όσον και την ψευδή κορυφή, Κ_ψ, της πυραμίδος.
        Στερεώνει, κατακορύφως, ένα δεύτερο, μικρό, ευθύ καδρόνι, τ, σε μία θέση τέτοια ώστε μία (κατακόρυφη) ακμή του, η α_τ, να  περιέχει το Τ.
        Εάν το τ, δεν μπορεί να καρφωθεί εις το συγκεκριμένο μέρος, το μετακινεί προς ένα καταλληλότερο, μαζί με σημείο στόχευσης Τ.
        Πιο συγκεκριμένα:
        Εν όσω μετακινεί το τ, φροντίζει ώστε, αυτό, αφ΄ ενός, να παραμένει κατακόρυφο και αφ΄ ετέρου να τηρείται η  “περασιά” [(τ),(σ),Κ_ψ], δηλαδή, το Τ να ευρίσκεται επί μίας ακμής  (τ), του τ (βλέπε επόμενο σχήμα).

167η εικών:
Τα σημεία Τ, Σ και Κ_ψ κείνται επ΄ ευθείας (“περασιάς”).

        Κατόπιν, επί του καδρονίου τ σημειώνει το σημείο στόχευσης Τ και το υλοποιεί δι΄ ενός δακτυλίου, δ  (“κρίκου”), που στερεώνει επί του καδρονίου. Την στερέωση του δ, επιτυγχάνει δι΄ ενός “ράμματος” επί του οποίου τον έχει δέσει ενώ, το “ράμμα”, το έχει τυλίξει περί το καδρόνι εν είδει “περιβραχιονίου” ή, “περικαδρονίου”.
        Το “περικαδρόνιο” δύναται να ολισθαίνει, με σχετική ευκολία, κατά μήκος του καδρονίου (όπως τα “τάστα”του ταμπουρά, οι λεγόμενοι: «μπερντέδες»). Η πλήρης στερέωση του Σ επιτυγχάνεται δι΄ ενός σφηνός τιθεμένου μεταξύ καδρονίου και “ράμματος”.

168η εικών:
Στερέωση του σημείου στοχεύσεως Τ,
επί του καδρονίου τ.

        Σημείωση:
        Κατόπιν αυτών και προκειμένου να προβεί εις την μέτρηση του ύψους της πυραμίδος, ο Θαλής, ενθυμείται το τεθέν ερώτημα:
        «Θα προσπαθήσω να προσδιορίσω την αληθή (και αόρατη) κορυφή, Κ_α, ή, θα αρκεστώ εις την (ορατή) και σφαλερή Κ_ψ;...»

        Διευκρίνιση:
        Εννοείται ότι η Κ_α είναι η κορυφή, της πυραμίδος και ...δεν υπάρχει άλλη. (Η Κ_ψ είναι κορυφή, ενός ...αγνώστου στερεού.)

169η εικών (μέρος της 162ας εικόνος):
Το Κ_ψ είναι κορυφή ενός στερεού που δεν είναι πυραμίς...

        Παρένθεση:
        Όποιοι εκ των αναγνωστών πιστεύουν πως, ο Θαλής, απεφάσισε το δεύτερο, μπορούν να παραλείψουν τα ...“στρυφνά” ζητήματα που ακολουθούν εν συνεχεία και να  μεταβούν  (μετά από τρεις σελίδες)εις το σημείο του κεφαλαίου υπό τον μεσότιτλο:
        «Ευρεθέντος του αληθούς σημείου στοχεύσεως Τ...».
        Το “Τ”, δι΄ αυτούς, θα είναι, αυτό, που μόλις περιεγράφη.
        Η μετάβαση, δεν θα τους δυσκολέψει την περαιτέρω ανάγνωση.
        Οι άλλοι, ενθυμούμενοι ότι, η εν λόγω μέτρηση, υπήρξε τόσον ακριβής ώστε να έχει εκπλήξει πολλούς επιστήμονες, θα συμπεράνουν ότι, “μάλλον”, δεν μπορεί να έχει επιτευχθεί ...δι΄ ανακριβειών.
        Τέλος της παρένθεσης.

        Ο Θαλής γνωρίζει ότι η αληθής κορυφή της πυραμίδος, η Κ_α, και η τωρινή, η Κ_ψ, κείνται (“περίπου”) επί της αυτής κατακορύφου.
        Γνωρίζει ακόμη ότι, επειδή το Κ_α είναι υψηλότερον του Κ_ψ, εάν αντί του Κ_ψ, εστόχευε το Κ_α, το σημείο στόχευσης, δεν θα ήτο το Τ αλλά, ένα Χ, επί της αυτής κατακορύφου με το Τ και, χαμηλότερα.

170η εικών:
Η αόρατη πλην αληθής κορυφή της πυραμίδος Κ_α
στοχεύεται από ένα σημείο Χ, ευρισκόμενο εις
την αυτή κατακόρυφο με το Τ αλλά, χαμηλότερα αυτού.
Σημείωση: Η στόχευση (“περασιά”)
πρέπει να περιλαμβάνει το (ακλόνητο) Σ.

        Επεξεργάζεται μία λύση αλλά, αυτή, ...απαιτεί βοηθό...
        Εν όσω τελεί εν περισυλλογή,  παρατηρεί ότι οι ενέργειές του, έχουν προκαλέσει προσέλευση μεγάλου πλήθους περιέργων...:
        Επιλέγει, λοιπόν, ένα νοήμονα εξ αυτών και του λέγει:
        «Θέλεις... να μείνεις στην ιστορία;»
        «Καλά 'μαι, 'κεί που μένω», απαντά ο ...Βεδουΐνος.
        Ο Θαλής γέλασε και, καθώς είχαν πλησιάσει προς το καδρόνι λ, πιάνει το κρεμασμένο “ράμμα”, του το δίδει και λέγει:
        «Μπορείς να κρατάς αυτό το “ράμμα”, ρ, τεντωμένο και να προχωράς σιγά-σιγά, επάνω σε αυτή τη γραμμή που φτιάχνω; Δηλαδή, θα πηγαίνεις πίσω-πίσω και, ταυτοχρόνως, θα “αφήνεις καλούμπα”.»
        Χαράσσει επί του εδάφους μία (“περίπου”) ευθεία (ε) η οποία είναι (“περίπου”) κάθετη προς την περασιά που ορίζουν τα δύο κατακόρυφα καδρόνια σ και τ.
        Καθώς ο Βεδουΐνος εκτελεί την οδηγία, ο Θαλής, παρακολουθεί πότε το ράμμα, ρ, θα “γλύψει” μία ακμή, (α), της πυραμίδος, ήτοι, πότε θα γίνει ομοεπίπεδο προς αυτήν. Τότε ο οφθαλμός του θα κείται επί του επιπέδου [ρ,(α)], επί του οποίου κείναι το ρ και η (α).
        Ζητάει από τον ...βοηθό του να επαναλάβει την διαδικασία προς την αντίθετη κατεύθυνση της (ε), χρησιμοποιώντας το ράμμα ρ΄ έως ότου, αυτό, φανεί ότι “γλύφει” μία άλλη ακμή της πυραμίδος, την (α΄). Τότε ο οφθαλμός του θα κείται επί του επιπέδου [ρ,(α)], επί του οποίου κείναι το ρ΄ και η (α΄).
        Προφανώς, τα επίπεδα [ρ,(α)] και [ρ,(α)], τέμνονται κατά την Κ_αΣ. Άρα, κάθε ευθεία κειμένη εφ΄ ενός εξ αυτών τέμνει την Κ_αΣ.
        Αν δύο ευθείες, η (β) και η (β΄), κείμενες επί των [ρ,(α)] και [ρ,(α)], αντιστοίχως, τέμνονται εις ένα σημείο Μ, τότε, το Μ, θα κείται επί της Κ_αΣ. Ο Θαλής μπορεί να εύρει ένα σημείο Τ, το οποίο να είναι τομή δύο ευθειών (χ) και (χ΄), κειμένων επί των [ρ,(α)] και [ρ,(α)], αντιστοίχως: Αυτό, θα είναι το σημείο από του οποίου το ρ και το ρ΄, θα φαίνονται ως να γλύφουν την (α) και (α΄), αντιστοίχως. Μόλις το εύρει, θα αναφωνήσει:
        «Η ΤΣ διέρχεται διά της αληθούς κορυφής, Κ_α.»
        Εάν το ευρεθέν Τ, δεν είναι κατάλληλο διά να εμπήξει το καδρόνι τ, εις τρόπον ώστε, το Τ, να ευρεθεί επί μίας ακμής (τ) του τ, τότε αναζητεί ένα άλλο, κατάλληλο σημείο επί της περασιάς ΣΚ_α.
        Όταν ο Θαλής τελείωσε, αντί ευχαριστίας προς τον “βοηθό” του Βεδουΐνο, του εξήγησε την μέθοδό του.
        «–Κατενόησες;», τον ερώτησε, όταν ολοκλήρωσε.
        Ο Βεδουΐνος κατένευσε.
        «–Ε, λοιπόν, τώρα, να τα γράψεις, ώστε να μη ταλαιπωρούνται, οι μέλλοντες να γεννηθούν, ...από παράδοξες διαδόσεις.»
         Ο άλλος κατένευσε αλλά, δεν ξέρουμε, αν εις την γλώσσαν των Βεδουΐνων εκείνης της εποχής, η κατάνευση, σήμαινε και κατάφαση...

171η εικών:
Η ευθεία (“περασιά”) ΤΚ_α είναι η τομή των επιπέδων
που ορίζονται από το Τ και
τις ακμές (α) και (α΄), της πυραμίδος.

        Ευρεθέντος του αληθούς σημείου στοχεύσεως Τ...
        Όταν ολοκληρώθηκε όλη, αυτή, η διαδικασία, ο Θαλής, είχε ορίσει ένα σημείο στόχευσης, Τ, και μία ευθεία, την ΤΣ η οποία διέρχεται διά της αληθούς κορυφής της πυραμίδος, της Κ_α.
        Βεβαίως, αγνοούσε την απόσταση Τ. Εγνώριζε όμως, κάτι άλλο: Την μέθοδο διά της οποίας γίνεται η μέτρηση της αποστάσεως ενός πλοίου από την ακτή (βλέπε προηγούμενο κεφάλαιο υπό τον τίτλο: «28. Το πλοίο δεν είναι ...θαλασσόβραχος»). Αυτήν θα προσαρμόσει δια να επιλύσει το παρόν πρόβλημα ή, εάν δεν την γνωρίζει θα την εύρει (οπότε, η μέθοδος εύρεσης της αποστάσεως του πλοίου συνιστά προσαρμογή αυτής που θα εύρει, τώρα):
        Ο Θαλής, επιλέγει μία άλλη θέση  εις την περιοχή πέριξ της πυραμίδος, επαναλαμβάνει την αυτήν διαδικασία και, τοιουτοτρόπως, ευρίσκει ένα δεύτερο σημείο στοχεύσεως, το Τ_δ.»

        Σημείωση – σχόλιο:
        Εδώ, χωρεί μία από τις γνωστές ...μαθηματικές διατυπώσεις, π.χ.:
        «Ομοίως ενεργούμε για να βρούμε ένα δεύτερο σημείου...»:
        –Άντε όμως, να το πεις, αυτό, του Θαλού ο οποίος κινδυνεύει... από ηλίαση. Αυτός, πολύ θα επιθυμούσε να εύρισκε ένα τρόπο ώστε, να αποφύγει τον προσδιορισμό του δευτέρου σημείου, του Τδ. Αλλ΄, όμως, κατά τον τρόπο που (εγώ) ξεκίνησε την μέθοδο, τέτοια δυνατότητα δεν υπάρχει (βλέπε επόμενο κεφάλαιο).

        Μόλις, ο Θαλής, όρισε το δεύτερο σημείο στόχευσης, το Τ_δ, ανέκραξε:
        «Το ΤΤ_δΚ_α, το τρίγωνο των στοχεύσεων, κατασκευάζεται.»
        Επανέλαβε/διόρθωσε:
        «Δηλαδή, το τρίγωνο ΤΤ_δΚ» (διότι δεν είχε πλέον λόγους να εξετάζει δύο κορυφές, την Κ_α (αληθή) και την Κ_ψ (ψευδή).

172α εικών:
Το τρίγωνο ΤΤ_δΚ είναι κατασκευάσιμο
(μία πλευρά, η  ΤΤ_δ και οι παρ΄ αυτήν γωνίες, ΤΤ_δΚ και Τ_δΤΚ).

        Πράγματι:
        Του τριγώνου ΤΤ_δΚ γνωρίζει, την πλευρά ΤΤ_δ και τις ευθείες (“περασιές”)  ΤΚ και  Τ_δΚ, δηλαδή, τις γωνίες ΤΤ_δΚ και Τ_δΤΚ. Και, επειδή γνωρίζει και το ...θεώρημά του (Παραδοχή: Α3η), γνωρίζει ότι μπορεί ...να πάει όπου θέλει (σε κάποιο επίπεδο) και να κατασκευάσει (μάλλον, υπό κλίμακα) ένα τρίγωνο που να έχει, ως βάση, την ΤΤδ και και ως, παρά την βάσιν γωνίες, τις ΤΤ_δΚ και Τ_δΤΚ.
        Βεβαίως, οι ευθείες  ΤΤ_δ,  ΤΚ και Τ_δΚ, δεν είναι υλοποιημένες – μόνον τα σημεία τους Τ, Τ_δ και Κ, έχουν ορισθεί. Αλλά, τα σημεία αυτά, έχουν, ήδη, υλοποιηθεί δια δακτυλίων (“κρίκων”). Μπορεί, λοιπόν, να χρησιμοποιήσει το “ράμμα”:
        Π.χ., εάν θέλει να υλοποιήσει την γωνία ΤΤ_δΚ, ενεργεί ως εξής:
        “Τραβάει ράμμα” από του Σ εις το Τ και, από του Τ, εις το Τ_δ΄ όπου, Τ_δ΄, ένα σημείο μεταξύ των Τ και Τ_δ΄, (ήτοι, επί της “περασιάς” της Τ και Τ_δ) “πλησίον” του Τ και υλοποιημένο όπως αυτό (με δακτύλιο κτλ). Το Τ_δ΄ είναι απαραίτητο διότι η απόσταση μεταξύ του Τ και του Τ_δ είναι πολύ μεγάλη (εκατοντάδες μέτρα) ώστε η εργασία με το ράμμα δυσκολεύεται.
        Ως προς την κατασκευή του Τ_δ΄, έχομεν τα εξής:
        Ο Θαλής ορίζει ένα σημείο Τ΄ επί της “περασιάς” Τ_δΤ και προς το μέρος του Τ προς το οποίο δεν κείται το Τ_δ. Κατόπιν ορίζει το σημείο Τ_δ΄, εις την περασιά του Τ΄Τ και προς το μέρος του Τ προς το οποίο δεν κείται το Τ΄.

173η εικών:
Εις την πράξη, διά να τεθεί το Τ_δ΄ μεταξύ των Τ και Τ_δ,
χρειάζεται, πριν, να ευρεθεί το Τ μεταξύ των Τ΄ και Τ_δ.

        Εν συνεχεία, ο Θαλής, θεωρεί το τρίγωνο, ΤΤ_δ΄Σ (επομένη εικών αριστερά), του οποίου γνωρίζει τις πλευρές ΤΤ_δ΄ και  ΤΣ.
        Εκ του τριγώνου αυτού ευρίσκει την γωνία ΣΤΤ_δ΄ η οποία είναι ίση προς την γωνία ΚΤΤ_δ, του τριγώνου των στοχεύσεων, ΚΤΤ_δ.
        Εάν το τρίγωνο ΤΤ_δ΄Σ είναι μεγάλο, ήτοι, δύσχρηστο (π.χ. δεν μπορεί να μετρηθεί η Τ_δ΄Σ), ο Θαλής, μπορεί να ορίσει ένα τρίγωνο μικρότερο, το ΤΧΨ,  επιλέγοντας τα κατάλληλα σημεία, Χ και Ψ, επί των “ραμμάτων” ΤΤ_δ΄ και  ΤΣ (σχήμα, δεξιά).

174η εικών (Λεπτομέρεια-μεγέθυνση της 169ης εικόνος):
Η γωνία  ΣΤΤ_δ΄, ήτοι, η  ΚΤΤ_δ, προσδιορίζεται ανεξαρτήτως
του είδους ή, του μεγέθους του τριγώνου  ΣΤΤ_δ΄ ή, του τριγώνου ΤΧΨ.

        Τώρα, ο Θαλής, ενεργεί ως εξής:

• Μετράει τις πλευρές του τριγώνου ΤΧΨ προκειμένου να το κατασκευάσει επί ενός (τυχόντος) επιπέδου.
• Κατασκευασθέντος του τριγώνου ΤΧΨ ευρίσκει την γωνία ΧΤΨ, ήτοι, την γωνία Τ_δ΄ΤΚ, ήτοι, την γωνία Τ_δΤΚ (βλέπε 172α εικόνα σε επανάληψη).
• Διά παρομοίων ενεργειών, ευρίσκει και την γωνία  ΤΤ_δΚ (βλέπε 172α εικόνα).
• Ευρεθεισών των γωνιών Τ_δΤΚ και ΤΤ_δΚ και γνωστής ούσης της πλευράς ΤΤ_δ, το τρίγωνο ΚΤΤ_δ, καθίσταται κατασκευάσιμο.
• Κατασκευασθέντος του τριγώνου  ΚΤΤ_δ, καθίσταται γνωστή η ΤΚ, ήτοι, η απόσταση της κορυφής, Κ, της πυραμίδος από του Τ.

172α εικών (επανάληψη):
Το τρίγωνο ΤΤ_δΚ είναι κατασκευάσιμο
(μία πλευρά, η  ΤΤ_δ και οι παρ΄ αυτήν γωνίες, ΤΤ_δΚ και Τ_δΤΚ).

        Κατόπιν όλων αυτών, ο Θαλής, παίρνει μία ανάσα:
        Έχει, ήδη, ενώπιόν του την λύση του προβλήματος και “το πάει αργά-αργά” διά “να το 'φχαριστηθεί”:
        Το μόνο που χρειάζεται, επιπροσθέτως, είναι να μετρήσει το ΣΤ_σ, όπου, Τ_σ, είναι το σημείο επί του καδρονίου σ το οποίο ευρίσκεται μετά του Τ εις την αυτήν “αλφαδιά” (βλέπε σχήμα).
        Προφανώς, η ΤΤ_σ, τέμνει το ύψος, υ, της πυραμίδος σε ένα σημείο Τ_υ διά το οποίο ισχύει το εξής:
        ΚΤ_υ/ΣΤ_σ = ΤΚ/ΤΣ ή:
        ΚΤ_υ = ΤΤ_σ·ΤΚ/ΤΣ.
        Το ΚΤ_υ είναι, βεβαίως, μικρότερο του ύψους, υ, της πυραμίδος κατά το μήκος ΤΗ_Τ, ήτοι το ύψος του σημείου Τ, από το έδαφος επί του οποίου είναι εμπηγμένο το καδρόνι τ. Οπότε, έχουμε:
        υ = ΚΤ_υ + ΤΗ_Τ.

175η εικών:
Τα τρίγωνα ΤΤ_σΣ και ΤΤ_υΚ είναι όμοια
Επομένως, ΚΤ_υ/ΣΤ_σ = ΤΚ/ΤΣ ή, ΚΤ_υ = ΤΤ_σ·ΤΚ/ΤΣ.
Το ύψος, υ, της πυραμίδος, είναι ίσο προς: υ = ΚΤ_υ + ΤΗ_Τ.

        ...
        Εν τέλει, ο Θαλής, σκουπίζει τον ιδρώτα του και δηλώνει:
        «Το υ, είναι το ύψος της Πυραμίδος του Χέοπος, από του σημείου Η_Τ.»

        Εν κατακλείδι:
        Αυτή, υπήρξε μία ακριβεστάτη μέθοδος υπολογισμού του ύψους της Πυραμίδος του Χέοπος, άνευ χρήσεως της σκιάς της.
        Όπως θα αντελήφθη ο αναγνώστης, ουσιαστικώς, πρόκειται περί (μίας παραλαγής) της μεθόδου υπολογισμού της αποστάσεως ενός πλοίου από την ακτή. (Βλέπε προηγούμενο κεφάλαιο υπό τον τίτλο: «28. Το πλοίο δεν είναι ...θαλασσόβραχος».)
        Το ερώτημα είναι:
        Υπάρχει καλλιτέρα μέθοδος;
        ...

Συνεχίζεται, εδώ...