20. Η λύσις διά της μεταφοράς της σκιάς του ύψους. [Μέρος ΙΙΙ, Κεφ. 20 (18/12/13)]

Μετάβαση εις τα σχόλια:
        Αρχικό... 
Τελικό...
        

        

20. Η λύσις διά της μεταφοράς της σκιάς του ύψους.

         Ο “μικρός”, παρά την φιλότιμη προσπάθεια που κατέβαλε διά να ενθυμηθεί αυτά που είχε κάμει και να τα εκθέσει με ακρίβεια, το μόνο που κατάφερε ήταν, να πει:.
         «Δεν είναι ανάγκη να το “πιάσω” από την αρχή... Αλλά, κάποια στιγμή, έφτασα σε αυτό που θα σας δείξω:»
         Σχεδίασε, “στα γρήγορα” τα δύο σχήματα της εικόνος που θα ακολουθήσει.
         «Εγώ, είχα το πρώτο... και σκέφτηκα το δεύτερο...»
         Όταν τα παρατήρησα, έκαμα ένα “καυστικό σχόλιο”, εν είδει ανεκδότου:
         «Κάποτε, δύο φίλοι, έβλεπαν ένα κοπάδι πρόβατα:
         «Εβδομήντα εννέα», λέγει ο ένας.
         «Πώς το βρήκες;», απόρησε ο άλλος.
         «Μα, ήταν πολύ απλό: Μέτρησα τα πόδια και διαίρεσα διά του τέσσερα...», απήντησε ο πρώτος.»
         «Μάστορα, γιατί το λες αυτό;»
         «Χμμμ,... Απορώ που δεν το κατάλαβες:
         Είναι πιο παράδοξο το να έχεις σκεφθεί το πρώτο σχήμα από το να έχεις σκεφθεί, κατ΄ ευθείαν, το δεύτερο...που μας έδειξες πριν.»
         Η μαθηματικός παρενέβη:
         «Είναι τόσο παράδοξο που σκέφτηκε να μεταφέρει την κρυμμένη σκιά του ύψους της πυραμίδας;... Αυτό, για να το κάνει, έπρεπε να μεταφέρει όλο το ΑΒΗ (το πρώτο σχήμα).»
         «Παράδοξο είναι», επέμεινα, «αν, αυτό, έχει προκύψει διά του τρόπου που έχει ακολουθήσει.  Άλλο, εάν το είχε κάμει εξ αρχής. Λοιπόν, τον ερωτώ να μου πει το πώς το εσκέφθη...»

                 

123η εικών:
1ον σχήμα: Το τρίγωνο Α΄Β΄Μ, μετά του ΜΜ΄ 
είναι ομόλογο του  τριγώνου ΑΒΗ μετά του ΗΜ
εις μία παράλληλο μεταφορά, την ΗΜ.
Άρα, η σκιά του ύψους της πυραμίδος, ήτοι,
το ΡΜ+ΜΗ ισούται προς το ΡΜ+ΜΜ΄.
2ον σχήμα: Το τρίγωνο ΒΑΗ΄, μετά του Η΄Μ
είναι συμμετρικό του  τριγώνου ΑΒΗ μετά του β.
Άρα, η σκιά του ύψους της πυραμίδος, ήτοι,
το ΡΜ+ΜΗ, ισούται προς το ΡΜ+ΜΗ΄.

        
         «Εγώ», είπε η καθηγήτρια, « θέλω να τον ερωτήσω, πώς, από το πρώτο σχήμα, σκέφτηκε το δεύτερο...»
         Ο βοηθός θεώρησε ευκολότερο το να απαντήσει εις εκείνη:
         «Ε, πήρα το τρίγωνο Α΄Β΄Μ και το αναποδογύρισα...»
         Η οργή που επέδειξα δεν είχε ως αιτία ...την αγνόηση της δικής μου ερώτησης:
         «Τί πάει να πει «αναποδογύρισα», βρε αλλοπρόσαλλε;»
         Η πελάτις μου πάτησε το πόδι και εγώ το σήκωσα, μαζί με το δικό της, διά να άρω την παρέμβασή της.
         Ο “μικρός” προσεβλήθη:
         «Μάστορα, μπορεί να μη το είπα εντελώς σωστά – όπως ...τα λες εσύ. Πάντως, εσύ, κατάλαβες τι ήθελα να πω...»
         Η πελάτις, παρενέβη:
         «Ο μάστοράς σου, θέλει να σε κάνει καθαρευουσιάνο...»
         Απήντησα στον “μικρό”:
         «Το να ζητάς από τους άλλους να καταλάβουν το ορθό, από κάτι εσφαλμένο που είπες, είναι μία μορφή επαιτείας...:  –Τί πάει να πει «αναποδογυρισμένο» (ξαναλέω);»
         Δεν είπε λέξη. Οπότε, και συνέχισα:
         «Θα δούμε εάν ορθώς σε επεκάλεσα «αλλοπρόσαλλο»:
         Θεωρούμε τρίγωνο ΗΑΒ και το τρίγωνο Η΄ΑΒ, ομόλογο του ΗΑΒ σε μία στροφή δύο ορθών περί το μέσον της ΑΒ. Φαντάσου:
         Το Η΄ΑΒ είναι, το “ΗΑΒ, «αναποδογυρισμένο»”;
         «Μάλιστα.»
         «Το τρίγωνο Η´´ΑΒ, (φαντάσου) συμμετρικό του ΗΑΒ ως προς την ΑΒ, είναι το “τρίγωνο ΗΑΒ «αναποδογυρισμένο»”;»
         «Μάλιστα.»
         «Εγώ, όταν ακούω  «αναποδογυρισμένο», μπορώ να φανταστώ, είτε το ένα ή, το άλλο;»
         «Μάλιστα.»
         «Δηλαδή, ενδέχεται να σκεφθώ άλλο από εκείνο που σκέφτηκες εσύ που είπες «αναποδογύρισα», ήτοι να σκεφθώ: άλλο προς το άλλο...
         Και, τώρα, πες μου:
         Το Η´ΑΒ και Η´´ΑΒ, είναι ίσα;»
         Ο βοηθός σκέφτηκε και είπε:
         «Όχι, γιατί, το Η´ΑΒ, είναι ίσο με το ΗΑΒ αλλά, το Η´´ΑΒ, δεν είναι – είναι το συμμετρικό του... (αφού,... τώρα μόλις το είπες).»
         Εστράφη προς την καθηγήτρια και επανέλαβε αυτό που του είχα πει μία φορά:
         «Δύο σχήματα, συμμετρικά ως προς άξονα, φτιαγμένα από ένα δίχρωμο υλικό (μπρος-πίσω), δεν είναι ομοιόχρωμα...»
         Έκαμε τα σχήματα που ακολουθούν και έδωσε τις επεξηγήσεις που τα συνοδεύουν:

                 

124η εικών:
1ον σχήμα: Το τρίγωνο Η´ΑΒ, είναι ομόλογο του ΗΑΒ
εις μία στροφή 2 ορθών γωνιών περί το μέσον της ΑΒ.
Τα τρίγωνα ΗΑΒ και Η´ΑΒ είναι ίσα.
2ον σχήμα: Το τρίγωνο Η´´ΑΒ είναι συμμετρικό του ΗΑΒ
ως προς άξονα συμμετρίας την ΑΒ.
Τα τρίγωνα ΗΑΒ και Η´´ΑΒ είναι δεν είναι ίσα.

        
        Κατόπιν αυτού, τον ερώτησα:
         «Ποίο από τα δύο που έκαμες, τώρα, μοιάζει με αυτό που είχες κάμει, προηγουμένως;»
         «Είναι το δεύτερο, το συμμετρικό ως προς άξονα αλλά, θέλει και κάποια συμπλήρωση...: Και, τώρα, θα τα πω σωστά:»
         Τον διέκοψα:
         «Αυτό, θα το κάμεις όταν θα μας εξηγήσεις το πως έφθασες εις αυτό, ακολουθώντας τον τρόπο που είχες αρχίσει..»
         ...
         Ο βοηθός, διετύπωσε μία τελευταία απορία/παρατήρηση:
         «Μάστορα, όταν εσύ μου λες π.χ.: «έλα να “γυρίσουμε” το τραπέζι», εγώ καταλαβαίνω ότι θα το γυρίσουμε γύρω-γύρω – ας πούμε κατά δύο ορθές. Τότε, το “καπάκι” του θα πάρει μία θέση συμμετρική  ως προς κέντρο (σε σχέση με την προηγούμενη).
         Όταν μου λες «έλα να το αναποδογυρίσουμε» ή, «...να το “τουμπάρουμε”», εγώ καταλαβαίνω ότι θα το γυρίσουμε, το πάνω-κάτω. Τότε, το “καπάκι” του, θα πάρει μία θέση συμμετρική ως προς άξονα... δηλαδή, ως προς επίπεδο (σε σχέση με την προηγούμενη).
         Τώρα, αφού εγώ είπα: «αναποδογύρισμα» και αυτό που εννοούσα ήταν: «συμμετρικό ως προς άξονα», πώς λες ότι δεν το είπα σωστά;»
         Απήντησα ως εξής:
         «Εάν, ένα τραπέζι, είναι πλησίον του τοίχου και, εσύ, έχεις βάψει το καπάκι του, και τελειώνεις τα δύο, μπροστινά πόδια, εγώ μπορεί να σου πω:
         «Όταν τελειώσεις, φώναξέ με να το αναποδογυρίσουμε για να βάψεις και τα πίσω...»
         Εγώ, μπορεί να μην έχω πει την ορθή λέξη... Αλλά, εσύ τί θα καταλάβεις; –Ότι θα το τουμπάρουμε και θα ακουμπήσει το βαμμένο καπάκι στο πάτωμα;»
         Σιώπησε, οπότε, συνέχισα:
         «Στην πράξη, οι δεδομένες συνθήκες, των οποίων έχουμε επίγνωση, συμπληρώνουν το νόημα των λεγομένων μας... Στα σχήματα της γεωμετρίας, δεν έχουμε ούτε βαψίματα, ούτε... φορτώματα στο αυτοκίνητο μεταφοράς κτλ... Το νόημα των λεγομένων μας εξαρτάται αποκλειστικά από την αυστηρότητα των διατυπώσεων...
         Τώρα, πες μας αυτό που σ΄ ερώτησα.»
        

        

Συνεχίζεται, εδώ...