15. Λύσεις δύο,
προκύπτουσαι εκ των διηγήσεων.
προκύπτουσαι εκ των διηγήσεων.
Επιστρέψας εκ της ταβέρνας ήμουν ευχαριστημένος... αλλ´, όχι εντελώς: Μπορούσα, βεβαίως, να δηλώσω, προς πάντα και προς πάσα ότι τα περί ...ειδικής ημέρας και ώρας κατά την οποία, δήθεν, έκαμε την μέτρηση ο Θαλής, ήσαν ανόητα...
Η λύση όμως, είχε κάποια μειονεκτήματα:
Πρώτ΄ απ΄ όλα, είναι μάλλον απίθανο να είχε κάμει, ο Θαλής, μία τέτοια “μανούβρα” σαν την δική μου. Σκεπτόμουν ότι θα είχε βρει ένα τρόπο πιο απλό και πιο έξυπνο – και όχι, να περπατάει εκατοντάδες μέτρα κάτω από τον ήλιο. Αυτό, το συνειδητοποίησα όταν πληροφορήθηκα τις ακριβείς διαστάσεις της πυραμίδος. Θέτει δε εν αμφιβόλω και την χρήσιν του “ράμματος” ή, τουλάχιστον την δυσκολεύει. Πάντως οι “περασιές” (π.χ. προς εύρεσιν των γωνιών) υλοποιούνται και δι΄ άλλων μεθόδων (π.χ. δι΄ ευθειών πήχεων)... Εννοείται ότι, ο Θαλής, θα μπορούσε να μεταφέρει τις αποστάσεις ΑΒ, ΜΑ και ΜΒ (ήτοι τις πλευρές του τριγώνου της σκιάς της πυραμίδος), υπό κλίμακα, σε ένα σκιερό δωμάτιο διά τα περαιτέρω. Αλλ´, αυτό, επίσης, απαιτεί επιπρόσθετες ενέργειες.
Σημείωση:
Προφανώς, ο Θαλής, μπορούσε να επιτύχει, αυτήν, την μεταφορά υπό κλίμακα, διά της χρήσεως των αναλογιών, ήτοι, του δικού του θεωρήματος.
Το σοβαρότερο μειονέκτημα ήταν το γεγονός ότι, η λύση που είχα βρει, κατά τύχην, δεν ήταν μόνον “καλή” αλλά και, κάπως, “επινοητική” ή/και “πρωτότυπη”...:
Κατ΄ αρχάς, το τυχαίο της ευρέσεως, θα ήταν μία πρώτης τάξεως δικαιολογία δι΄εκείνους που θα επικαλούντο αυτό, ακριβώς, το γεγονός. Εγώ δε δεν θα μπορούσα να το αποκρύψω και να νομισθώ ως κάποιος που έχει ...εμπνεύσεις, ήτοι ως κάποιος του οποίου ο εγκέφαλος έχει ...κενά (άνευ των οποίων, δεν εισχωρούν οι εν/πνεύσεις). Επιπροσθέτως, η “επινοητικότητα” της εν λόγω λύσεως (“σπουδαίο” το πράγμα...) θα επέτρεπε εις ορισμένους να ισχυρισθούν πως: «πού να την φανταστεί ο Θαλής;»
Βεβαίως, ο τοιούτος ισχυρισμός, θα ήτο βλακώδης:
Ο Θαλής, είναι αυτός που κατεσκεύασε μία παρακαμπτήριο του ποταμού Άλυος ώστε να καταστεί περατός (βλέπε εις το κεφάλαιο υπό τον τίτλο: «27. Παραδοχές περί του Θαλού»). Αλλά, το να αποδείξεις το βλακώδες ενός ισχυρισμού είναι έργο δυσμήχανο καθόσον οι βλάκες (όταν δεν είναι αφυείς) είναι πολυμήχανοι... Θέλησα, λοιπόν, να αναζητήσω, κάποια λύση του προβλήματος της ευρέσεως της σκιάς του ύψους της πυραμίδος, η οποία να προκύπτει ευλόγως, εξ όσων λέγονται περί του επεισοδίου της μέτρησεώς του. Το πράγμα είχε ως εξής:
Είχα να αντικρούσω τον ισχυρισμό πως, ο Θαλής έπρεπε να κάμει αυτά που έκαμε, μία συγκεκριμένη ημέρα και ώρα, ειδεμή θα απετύγχανε. Και έπρεπε να αποδείξω ότι, μπορούσε να υπολογίσει το ύψος οποιαδήποτε μέρα και ώρα (αρκεί να υπήρχε ορατή σκιά).
110η εικών:
Ο συνήθης ισχυρισμός:
«Εάν οι ακτίνες του Ηλίου δεν προσπίπτουν καθέτως προς
δύο πλευρές της βάσεως της πυραμίδος και
υπό γωνία μισής ορθής, ως προς το οριζόντιο έδαφος,
ο υπολογισμός του ύψους της, δεν γίνεται...»
Οι προσπάθειές μου είχαν, ως αποτέλεσμα, δύο λύσεις:
1η λύσις:
Έστω ΑΒΓΔ η βάση της πυραμίδος, Κ, το κέντρο της και, Ε, η σκιά της κορυφής της η οποία κείται προς το μέρος της ΑΒ προς το οποίο δεν κείται το Κ.
Θεωρούμε την σκιά, σ, οποιασδήποτε κατακορύφου ράβδου ρ και την, διά του Ε, παράλληλο προς αυτήν. Αυτή, η παράλληλος, προφανώς, διέρχεται διά του Κ και τέμνει την ΑΒ εις το σημείο Ζ.
Έστω Η, ο πους της, διά του Ε, καθέτου επί την ΑΒ και, Μ, ο πούς της διά του Κ, καθέτου επ΄ αυτήν. Το Μ, προφανώς, είναι το μέσον της ΑΒ, άρα, είναι γνωστόν σημείο, ήτοι, κατασκευάσιμο – όπως και τα Ζ και Η.
Εκ των ομοίων τριγώνων ΕΗΖ και ΚΜΖ, έχομεν:
ΖΚ/ ΖΕ = ΖΜ/ΖΗ, επομένως, ΖΚ = ΖΕ·ΖΜ/ΖΗ.
Η σκιά του ύψους της πυραμίδος, η ΕΚ, είναι ίση προς το άθροισμα των ΕΖ και ΖΚ, ήτοι, ΕΚ = ΕΖ + ΖΚ.
111η εικών:
Η ΕΚ, σκιά του ύψους υ της πυραμίδος
υπολογίζεται ευκόλως ως άθροισμα πλευρών
των ομοίων, ορθογωνίων τριγώνων, ΕΖΗ και ΚΖΜ.
Η ΕΖ, κατασκευάζεται ως παράλληλος
προς την σκιά, σ, που “ρίχνει”
οποιασδήποτε κατακόρυφη ράβδος ρ.
2α λύσις:
Είναι δυνατόν να υπολογισθεί η σκιά και χωρίς να χρειαστεί να κάνουμε την παράλληλη μεταφορά της σκιάς της ράβδου ρ:
112η εικών:
Η μέτρηση του της σκιάς του ύψους της πυραμίδος
είναι δυνατή, και μόνον με την χρήση του
ορθογωνίου τριγώνου ΕΛΚ.
Το τρίγωνο ΕΛΚ (όπου Λ, η τομή της ΕΗ μετά της μεσοκαθέτου της ΒΓ) είναι κατασκευάσιμο διότι το ΚΛ είναι ίσο προς το ΜΗ, το δε ΕΛ ισούται προς το άθροισμα των ΕΗ και ΗΛ ενώ το ΗΛ ισούται προς το ήμισυ του ΑΒ:
ΕΛ = ΕΗ + ΑΒ/2.
Παρατήρηση:
Το γεγονός ότι το τρίγωνο ΕΛΚ είναι ορθογώνιο, μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την ΕΚ, σκιά του ύψους της πυραμίδος, χωρίς να το κατασκευάσουμε (ΕΚ2 = ΕΛ2+ΛΚ2).
Ίσως όμως, ο Θαλής, να μην ήθελε να χρησιμοποιήσει ένα θεώρημα το οποίο παρότι ήταν (κατά πάσα πιθανότητα) ήδη, γνωστό, δεν είχε ακόμη αποδειχθεί από τον, μεταγενέστερο αυτού, Πυθαγόρα.
Σχετικά με την πρώτη λύση ,η δια του Ε παράλληλος προς τη σκιά σ της ράβδου ρ είναι κατασκευάσιμη;Εννοώ πως ο Θαλής ορίσε στην πράξη (όχι επι χάρτου) το σημείο Ζ;
ReplyDeleteΑπορία: Υπάρχει περίπτωση η κάθετος ΕΗ να βρίσκεται εκτός της ΑΒ (δηλ. να μην τέμνεται με την ΑΒ);
1ον: Ο Θαλής, μπορεί να εργάστηκε είτε επί του εδάφους – αν υποθέσουμε ότι το θεώρησε ως ικανοποιητικό επίπεδο σχεδιάσεως – ή, σε ένα άλλο επίπεδο, επί του οποίο μετέφερε τα δεδομένα. Επίσης μπορεί να σχεδίασε υπό κλίμακα (δοθέντος ότι εγνώριζε τα σχετικά με τις αναλογίες).
DeleteΗ κατασκευή της παραλλήλου προς δοθείσα ευθεία (σ) διά σημείου Ε εκτός αυτής είναι, τόσο απλή ώστε πραγματοποιείται και άνευ της χρήσεως του διαβήτου... Επ΄ αυτού, βλέπε, εις το συζυγές blog, το θέμα υπό τον τίτλο «Κατασκευές άνευ χρήσεως του διαβήτου» (http://thalespyramis.blogspot.gr/2013/12/blog-post.html).
2ον: Πράγματι, υπάρχουν τρεις περιπτώσεις τομής της ΕΗ μετά της ΑΒ:
α) Να τέμνει την ΑΒ μεταξύ των Α και Β.
β) Να την τέμνει προς το μέρος του Β προς το οποίο δεν κείται το Α.
γ) Να την τέμνει προς το μέρος του Α προς το οποίο δεν κείται το Β.
Εις τις δύο τελευταίες περιπτώσεις, η ΕΗ τέμνει την «εκβολή» της ΑΒ (ορολογία Ευκλείδου) ή, την «προέκτασή» της (ορολογία σημερινή).